AmosTian

【矩阵论】6.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式

6.1.3 矩阵范数产生向量范数

$C^{n\times n}$ 上任一矩阵范数 $\Vert \bullet\Vert$ 都产生一个向量范数 $\varphi(X)=\Vert X\Vert_V$

矩阵范数与向量范数的相容性： $\varphi(Ax)\le \Vert A\Vert\varphi(x)$ ，即 $\Vert AX\Vert_V\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert_V$ , $\forall A\in C^{n,n},\forall X\in C^n$

证明：
$\begin{aligned} &设向量范数 \varphi(X)\overset{\Delta}{=}\Vert X\alpha^T\Vert,\forall X\in C^n,\alpha=\left( \begin{matrix} a_1\\\vdots\\a_n \end{matrix} \right)\neq \vec{0}为权向量,表示对每个列向量放缩形成矩阵\\ &则\varphi(X)\overset{\Delta}{=}\Vert X\alpha^T\Vert=\Vert a_1X,a_2X,\cdots,a_nX\Vert，右边为一个矩阵范数\\ &显然 ①正性：\varphi(X)=\Vert X\alpha^T \Vert\ge 0\\ & ②齐性：\varphi(kX)=\Vert (kX)\alpha^T\Vert=\Vert a_1kX,a_2kX,\cdots,a_nkX\Vert=\vert k\vert\Vert a_1X,a_2X,\cdots,a_nX_n\Vert=\vert k\vert\varphi(X)\\ &③三角性：令X，Y\in C^n,\\ &\quad \because \varphi(X+Y)=\Vert (X+Y)\alpha^T\Vert =\Vert X\alpha^T+Y\alpha^T \Vert\le \Vert X\alpha^T\Vert+\Vert Y\alpha^T\Vert =\varphi(X)+\varphi(Y)\\ &④相容性：\varphi(AX)=\Vert (AX)\alpha^T\Vert=\Vert A(X\alpha^T)\Vert\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\alpha^T\Vert=\Vert A\Vert\cdot\varphi(X)\\ &可证，\Vert AX\Vert_V\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert_V,即矩阵范数与向量范数有相容性 \end{aligned}$
eg

F范数与向量2-范数相容： $\Vert Ax\Vert_2\le \Vert A\Vert_F\cdot\Vert x\Vert_2$
总和范数与1-范数， $\infty$ -范数相容： $\Vert Ax\Vert_1\le \Vert A\Vert_M\cdot \Vert x \Vert_1$ ， $\Vert Ax\Vert_\infty\le \Vert A\Vert_M\cdot \Vert x\Vert_\infty$
G范数与1-范数， $\infty$ -范数相容，2-范数相容： $\Vert Ax\Vert_1\le \Vert A\Vert_G\cdot \Vert x \Vert_1$ , $\Vert Ax\Vert_2\le \Vert A\Vert_G\cdot \Vert x \Vert_2$ , $\Vert Ax\Vert_\infty\le \Vert A\Vert_G\cdot \Vert x \Vert_\infty$

a. 特别生成公式

令 $e_1=\left(\begin{matrix}1\\0\\\vdots\\0\end{matrix}\right)$ ，取 $e^T_1$ 作为向量 $X$ 的放缩量，将向量范数与矩阵范数建立联系

$\varphi(X)\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert_V=\Vert X(1,0,\cdots,0)\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_*$ , $=\left(\begin{matrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right)\in C^n$ ，且 $\Vert X\Vert_V$ 满足相容性 $\Vert AX\Vert_V\le \Vert A\Vert_*\cdot\Vert X\Vert_{V}$ ， $A\in C^{n,n}$ ， $X\in C^n$

eg

取 F 范数 $\Vert A\Vert=\Vert A\Vert_F$ ，验证F范数与向量2-范数的相容性
$\begin{aligned} &由特别生成公式，\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_F = \sqrt{\vert x_1\vert^2+\vert x_2\vert^2+\cdots+\vert x_n\vert^2}\\ &=\Vert X\Vert_2,即有F范数\Vert A\Vert_F可产生向量范数 \Vert X\Vert_2\\ &对相容性的验证：\\ &\forall A\in C^{n,n},\Vert AX\Vert_2=\Vert (AX)e_1^T\Vert=\Vert A(Xe_1^T)\Vert\le \Vert A\Vert_F\cdot \Vert X\Vert_2 \end{aligned}$

取总和范数 $\Vert A\Vert_M=\sum \vert a_{ij}\vert$ ，写出矩阵范数产生的向量范数，并写出相容性
$\begin{aligned} &由特别生成公式,\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_M=\sum \vert a_{ij}\vert =\Vert X\Vert_1\\ &即有相容性：\Vert AX\Vert_1=\Vert AXe_1^T\Vert\le \Vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert_1=\Vert A\Vert_M\cdot \Vert X\Vert_1\\ &至于M范数与\infty-范数相容，则需要其他的生成公式证明 \end{aligned}$

取行范数 $\Vert A\Vert_\infty$ ，写出矩阵范数产生的向量范数，并写出相容性
$\begin{aligned} &由特别生成公式，\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert Xe_1^T\Vert=\left\Vert \left(\begin{matrix} x_1&0&\cdots&0\\x_2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_n&0&\cdots&0\end{matrix}\right)\right\Vert_\infty=\max_{1\le i\le n}\{\vert x_i\vert\}=\Vert X\Vert_{\infty}\\ &\Vert AX\Vert_\infty\le\Vert A\Vert_\infty\Vert X\Vert_\infty \end{aligned}$

取列范数 $\Vert A\Vert_1$ ，由特别生成公式 $\Vert X\Vert_V\overset{\Delta}{=}\Vert X \Vert_1$ , $\Vert AX\Vert_1 \le \Vert A\Vert_1 \cdot \Vert X \Vert_1$

6.1.4 谱范不等式

a. 谱半径

$\begin{aligned} &\rho(A)=max\{\vert \lambda_1\vert,\vert \lambda_2\vert,\cdots,\vert \lambda_n\vert\}为方阵 A=A_{n\times n} 的谱半径，\\ &其中，方阵A的特征根为\lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\} \end{aligned}$

eg

$\begin{aligned} &\because \lambda_1=\frac{1}{2},\lambda_2=\frac{1}{3},\therefore \rho(A)=\lambda_1=\frac{1}{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\lambda(A)=\{2i,1\},\rho(A)=2 \end{aligned}$

a. 谱半径性质

正性：任一方阵 $A_{n\times n}$ 必有 $\rho(A)\ge 0$
齐次公式： $\rho(kA)=\vert k\vert \rho(A)$

可写齐次公式 $\rho(\frac{A}{k})=\frac{1}{\vert k\vert}\rho(A)$

可取正数 $k=\rho(A)+\epsilon,\epsilon>0$ ，则有 $\rho(\frac{A}{k})=\rho(\frac{A}{\rho(A)+\epsilon})=\frac{1}{\rho(A)+\epsilon}\rho(A)<1$
幂公式： $\rho(A^k)=[\rho(A)]^k$

b. 谱范不等式

$\rho(A)\le \Vert A\Vert$ 对于一切矩阵范数 $\Vert A\Vert$ 成立

SP：若 A 是正规阵，则 $\rho(A)=\Vert A\Vert_2$
$\rho(A)=\lim_{k\rightarrow \infty}\limits\Vert A^k\Vert^{\frac{1}{k}}$

证明：
$\begin{aligned} &\lambda(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\} ，\lambda_1=max\{\vert\lambda_1\vert,\cdots,\vert \lambda_n\vert\} =\rho(A)\\ &取特根X\neq 0,使AX=\lambda_1X,令矩阵B=\left(X,X,\cdots,X\right)_{n\times n}\neq 0\\ &可知AB=(AX,\cdots,AX)=\lambda_1B,\vert \lambda_1\vert\Vert B\Vert=\Vert AB\Vert\le \Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert，且\Vert B\Vert>0\\ &\therefore \vert \lambda_1\vert<\Vert A\Vert,由谱半径定义得：\rho(A)=\Vert A\Vert \end{aligned}$
证明2：
$\begin{aligned} &任取矩阵范数 \Vert A\Vert,产生向量范数\Vert X\Vert,且 \Vert AX\Vert\le \vert A\Vert\cdot\Vert X\Vert\\ &任取A的特征值\lambda,有特向X\neq 0,使 AX=\lambda X\\ &则\vert \lambda\vert\Vert X\Vert=\Vert \lambda X\Vert=\Vert AX\Vert\le \Vert A\Vert\cdot \Vert X\Vert,且 \Vert X\Vert>0\\ &\therefore \vert \lambda\vert\le \Vert A\Vert\Rightarrow \rho(A)\le \Vert A\Vert \end{aligned}$

c. 小范数定理

设 $A\in C^{n,n}$ 固定，任取很小正数 $\epsilon>0$ ，则有矩阵范数 $\Vert \bullet\Vert_\epsilon$ ，使 $\Vert A\Vert_\epsilon\le \rho(A)+\epsilon$

证明小范数定理

新范数公式：固定可逆阵 $P=P_{n\times n}$ ， $\Vert A\Vert$ 为矩阵范数 $A\in C^{n\times n}$ ，令 $\varphi(A)=\Vert P^{-1}AP\Vert$ ，则 $\varphi(A)$ 为矩阵范数，记新范数为 $\varphi(A)=\Vert A\Vert_P$ 或 $\varphi(A)=\Vert A\Vert_新 $

推论

若 $\rho(A)<1$ ，则有某个范数 $\Vert A\Vert_\epsilon<1$
$\begin{aligned} &\because \rho(A)<1，则1-\rho(A)>0,取\epsilon>0很小，任意\epsilon <\frac{1}{2}[1-\rho(A)]\\ &可知 \rho(A)+\epsilon<\rho(A)+\frac{1}{2}[1-\rho(A)] = \frac{1}{2}[1+\rho(A)]<1,\\ &由小范数定理，\exist\Vert A\Vert_\epsilon<\rho(A)+\epsilon<1 \end{aligned}$

总结

给定方阵 $A_{n\times n}$ ， $\forall \epsilon >0$ ，有某个范数 $\Vert \bullet\Vert_\epsilon<\rho(A)+\epsilon$

SP：若 $\rho(A)<1$ ，则有某范数 $\Vert A\Vert_\epsilon<1$

若 $A=A_{n\times n}$ 为单阵（相似与对角阵），则存在矩阵范数 $\Vert X\Vert_P,X\in C^{n\times n}$ ，使得 $\Vert A\Vert_P=\rho(A) $

e. 谱范的应用——矩阵绝对收敛判定

若方阵A满足 $A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)$ ，即 $\lim_{k\rightarrow\infty}\limits A^k=0$ ，称A为收敛阵

充要条件

$\lim_{k\rightarrow\infty}\limits A^k=0\iff \Vert A^k\Vert=0$

证明：
$\begin{aligned} &\because \lim_{k\rightarrow \infty}A^k=0\iff A^k中每个元素 a_{ij}^{(k)}\rightarrow 0\iff \Vert A^k\Vert_M=\sum_{i,j}\vert a_{ij}^{(k)}\vert\xrightarrow{k\rightarrow \infty} 0\\ &且由矩阵范数等价性，有\lim_{k\rightarrow \infty}\limits A^k=0\iff \Vert A^k\Vert\xrightarrow{k\rightarrow \infty}0 \end{aligned}$
$\rho(A)<1\iff \Vert A^k\Vert\rightarrow 0 (k\rightarrow \infty)\Rightarrow A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)$
- 充分性：
  
  若 $\rho(A)<1$ ,则 $\exist$ 某小范数 $\Vert A\Vert_\epsilon<1\Rightarrow \Vert A^k\Vert_\epsilon\le \Vert A\Vert^k_\epsilon\rightarrow 0\iff \Vert A^k\Vert_\epsilon\rightarrow 0$
  
  由于范数等价性，对于所有范数都有 $\Vert A^k\Vert\xrightarrow{k\rightarrow \infty}0$
- 必要性：

充分条件

某一范数 $\Vert A\Vert<1\Rightarrow \Vert A^k\Vert\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)$

若范数 $\Vert A\Vert<1\Rightarrow \Vert A^k\Vert\le \Vert A\Vert^k$ 已知 $\Vert A\Vert<1\Rightarrow \Vert A\Vert^k\xrightarrow{k\rightarrow \infty} 0$ ,则 $\Rightarrow \Vert A^k\Vert\rightarrow 0\Rightarrow A^k\xrightarrow{k\rightarrow\infty} 0，A为收敛阵$

总结

$\rho(A)<1\iff A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)$ ，A为收敛阵

某一范数 $\Vert A\Vert<1\Rightarrow A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty)$ ，A为收敛阵

纽曼公式(矩阵级数收敛公式)

若 $\rho(A)<1$ ，则 $I+A+A^2+\cdots+A^k=(I-A)^{-1}$ ；

若 $\rho(A)\ge 1$ ，则 $I+A+A^2+\cdots+A^k$ 发散，无意义
若某范数 $\Vert A\Vert<1$ ，则 $I+A+A^2+\cdots+A^k=(I-A)^{-1}$

证明
$\begin{aligned} &(1)已知\rho(A)<1\Rightarrow A^k\rightarrow 0(k\rightarrow \infty) \\ &(I-A)(I+A+A^2+\cdots+A^k)=I-A^{k+1}\\ &当k\rightarrow \infty,\Rightarrow (I-A)(I+A+A^2+\cdots+A^k)=I\\ &故可得 (I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots+A^k \end{aligned}$

$\begin{aligned} &(2)若 \Vert A\Vert<1,则\rho(A)\le \Vert A\Vert <1,由(1)结论，可知结论成立 \end{aligned}$

eg

$\begin{aligned} &\Vert A\Vert_1=\frac{4}{3},\Vert A\Vert_\infty=\frac{3}{2},\lambda(A)=\{\frac{1}{2},\frac{1}{3}\} ，\rho(A)<1\\ &故\sum_{k=0}\limits^\infty A^k=(I-A)^{-1}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}&-1\\0&\frac{2}{3} \end{matrix} \right)^{-1}=3\left( \begin{matrix} \frac{2}{3}&1\\0&\frac{1}{2} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2&3\\0&\frac{3}{2} \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$I-A)^{-1}\Vert$ 计算

设 $A\in C^{n\times n}$ ， $\Vert A\Vert$ 是矩阵范数，若 $\Vert A\Vert<1$ ，则 $I - A$ 为非奇异阵(可逆)，且 $\Vert (I-A)^{-1}\Vert\le \frac{\Vert I\Vert}{1-\Vert A\Vert}$

你可能感兴趣的:(数学,#,矩阵论,矩阵,线性代数)

Python数据分析与可视化实战指南 William数据分析 python python 数据
在数据驱动的时代，Python因其简洁的语法、强大的库生态系统以及活跃的社区，成为了数据分析与可视化的首选语言。本文将通过一个详细的案例，带领大家学习如何使用Python进行数据分析，并通过可视化来直观呈现分析结果。一、环境准备1.1安装必要库在开始数据分析和可视化之前，我们需要安装一些常用的库。主要包括pandas、numpy、matplotlib和seaborn等。这些库分别用于数据处理、数学
398顺境，逆境戴骁勇
2018.11.27周二雾霾最近儿子进入了一段顺境期，今天表现尤其不错。今天的数学测试成绩喜人，没有出现以往的计算错误，整个卷面书写工整，附加题也在规定时间内完成且做对。为迎接体育测试的锻炼有了质的飞跃。坐位体前屈成绩突飞猛进，估测成绩能达到12cm，这和上次测试的零分来比，简直是逆袭。儿子还在不断锻炼和提升，唯恐到时候掉链子。跑步姿势在我的调教下，逐渐正规起来，速度随之也有了提升。今晚测试的50
没想到，真没想到一棵落花的树
生活中，每一件小事都蕴藏着他的道理。有些令你意外，却能让你收到更为意外的结果。那一次，我真没想到的事，让我收获了爱。记忆的雨飘落下来，扰乱了我平静的心湖。那是一次数学考试，我破天荒地考了“99”分。我不禁沾沾自喜，这成绩我可不容易得到，妈妈一定会好好表扬我的。回到家，我想妈妈得意的报出成绩，妈妈只是淡淡的说：“嗯，等会儿试卷拿给我看看。”做完作业，我把试卷拿给了妈妈。只见妈妈捧着试卷，眯着眼睛盯着
Python开发常用的三方模块如下：换个网名有点难 python 开发语言
Python是一门功能强大的编程语言，拥有丰富的第三方库，这些库为开发者提供了极大的便利。以下是100个常用的Python库，涵盖了多个领域：1、NumPy，用于科学计算的基础库。2、Pandas，提供数据结构和数据分析工具。3、Matplotlib，一个绘图库。4、Scikit-learn，机器学习库。5、SciPy，用于数学、科学和工程的库。6、TensorFlow，由Google开发的开源机
C语言判断回文数 Y雨何时停T c语言学习
一，回文数概念“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等。在数学中也有这样一类数字有这样的特征，成为回文数。设n是一任意自然数。若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数。例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数。二，判断回文数实现思路一：数组与字符串将数字每一位按顺序放
九月班级管理工作反思追梦蜂
这个月应该算是最难的一个月，我已N年没当班主任，然后我又开始当了。职称是一方面，想到我如果退休了，不能再接触学生了，那该是多么遗憾的事！我的学生梁*铭是我的榜样，她那么努力，那么拼，那么上进，为什么我不行？虽然我面临的工作很难，但是高考数学也不容易。她拿下来了！满分150分她考了146分！我目睹她的艰辛，她的拼搏！还有，我要为我的孩子做榜样，如何竭尽全力，实现梦想。还有，服务，为社会做事，也是会有
推荐算法_隐语义-梯度下降 _feivirus_ 算法机器学习和数学推荐算法机器学习隐语义
importnumpyasnp1.模型实现"""inputrate_matrix:M行N列的评分矩阵，值为P*Q.P:初始化用户特征矩阵M*K.Q:初始化物品特征矩阵K*N.latent_feature_cnt:隐特征的向量个数max_iteration:最大迭代次数alpha:步长lamda:正则化系数output分解之后的P和Q"""defLFM_grad_desc(rate_matrix,l
2019考研 | 西交大软件工程笔者阿蓉
本科背景：某北京211学校电子信息工程互联网开发工作两年录取结果：全日制软件工程学院分数：初试350+复试笔试80+面试85+总排名：100+从五月份开始脱产学习，我主要说一下专业课和复试还有我对非全的一些看法。【数学100+】张宇，张宇，张宇。跟着张宇学习，入门视频刷一遍，真题刷两遍，错题刷三遍。书刷N多遍。从视频开始学习，是最快的学习方法。5-7月份把主要是数学学好，8-9月份开始给自己每个周
matlab delsat = setdiff(1:69,unique(Eph(30,:)))；语句含义黄卷青灯77 matlab 开发语言 setdiff
这行MATLAB代码用于计算在范围1:69中不包含在Eph矩阵第30行的唯一值集合中的所有元素。具体解释如下：delsat=setdiff(1:69,unique(Eph(30,:)));解释Eph(30,:)Eph(30,:)提取矩阵Eph的第30行的所有列元素。这是一个行向量，包含了第30行的所有值。unique(Eph(30,:))unique函数返回Eph(30,:)中的唯一元素。这意味着
【树一线性代数】005入门 Owlet_woodBird 算法
Index本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376分析实现总结本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376已知非空二叉树T的结点值均为正整数，采用顺序存储方式保存，数据结构定义如下:t
3.增删改查--连接查询问女何所忆
关系型数据库的一个特点就是，多张表之间存在关系，以致于我们可以连接多张表进行查询操作，所以连接查询会是关系型数据库中最常见的操作。连接查询主要分为三种，交叉连接、内连接和外连接，我们一个个说。1、交叉连接交叉连接其实连接查询的第一个阶段，它简单表现为两张表的笛卡尔积形式，具体例子：如果你没学过数学中的笛卡尔积概念，你可以这样简单的理解这里的交叉连接：两张表的交叉连接就是一个连接合并的过程，T1表中
高级UI<第二十四篇>：Android中用到的矩阵常识 NoBugException
（1）定义在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。由m×n个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：图片.png这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m×n，m×n矩阵A也记作Amn。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复
感恩日记Day 236 E姐小酒窝
图片发自App1.感谢16愿意听我"唠叨"，人与人的信任和托付在此刻弥足珍贵珍贵；2.感谢到家就能吃上美味的中餐，辛苦妞爸；3.感谢妞中午愿意听我叼叼旅行中的事儿；4.感谢星巴克就在家附近，让我一杯回魂；5.感谢美妞总结我和爸爸优点并说两者揉和就很棒了。6.感谢看到妞第一天数学成绩后淡定的自己；将责任归回妞自己并总结行动。7.感谢林姐姐信任，又定变啦减脂套餐。8.感谢梅姐知道我旅行回来后约我吃饭；
【高中数学/三角函数/判别式法求极值】已知：实数a,b满足a^2/4-b^2=1 求：3a^2+2ab的最小值普兰店拉马努金高中数学之三角函数高中数学三角函数判别式
【问题】已知：实数a,b满足a^2/4-b^2=1求：3a^2+2ab的最小值【来源】App"网易新闻"中up主“我服子佩”的数学视频专辑，据其称是北京市某年的竞赛题。【解答】由a^2/4-b^2=1，联想到secθ^2-tanθ^2=1故设a/2=1/cosθ,b=sinθ/cosθ将a=2/cosθ,b=sinθ/cosθ代入3a^2+2ab得f(θ)=(12+4sinθ)/(1-sinθ^2
2024年华为杯数学建模研赛C题思路代码+论文助攻 DS数模 2024华为杯数学建模华为 2024华为杯 2024研究生数学建模 2024研赛
2024年华为杯研究生数学建模竞赛（以下简研赛）将于9月21日上午8时正式开始。下文包含：2024研赛思路解析、研赛参赛时间及规则信息说明、好用的数模技巧及如何备战数学建模竞赛C君将会第一时间发布选题建议、所有题目的思路解析、相关代码、参考文献、参考论文等多项资料，帮助大家取得好成绩。2024年研赛将于9月21日上午8时正式开始这里有些资料，大家可以看看：【2024最全国赛研赛数模资料包】C君珍贵
2021-10-17(376) 刘玥上学记
今天早上妈妈六点就把我喊起来了，天气太冷了，姥姥给我们煮了鸡蛋，路上保暖用一切按部就班的进行，到公司刚刚好七点五十妈妈给我安排的是上午两张试卷，下午两张试卷上午的没做完，下午的我实在是不想做了，后来凯丽姐姐说早点写完，可以早些玩耍我就回办公室写作业了一直到下午四点半，凯丽姐姐过来检查，数学卷子还没做完询问了半天，原来是乘法口诀没有背过，然后凯丽姐姐就一个一个的给我提问而且还说让我晚上回去自己再重新
2021-10-03 虫虫新生111
今天放假的第3天感觉过得好快，总体来说数学做了25道题，里边有几道题还是弄得不清楚，仍然不懂怎么做，不过整体感觉思路比去年要清晰很多，因为有去年的基础，今年还是比较轻松一些。逻辑做了有几道题，6题，错2，有些概念总的是模糊不清，还是要反复的再整理一下概念，以及回头看一下讲的基础知识，把基础的公式弄懂才可以。现在困了睡觉，明天早点起床。
七.正则化愿风去了
吴恩达机器学习之正则化（Regularization）http://www.cnblogs.com/jianxinzhou/p/4083921.html从数学公式上理解L1和L2https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/81276818虽然在线性回归中加入基函数会使模型更加灵活，但是很容易引起数据的过拟合。例如将数据投影到30维的基函数上，模
腾讯发表多模态综述，一文详解多模态大模型存内计算开发者社区多模态大模型人工智能 chatgpt AIGC 量子计算 AI-native gpt agi
多模态大语言模型（MLLM）是近年来兴起的一个新的研究热点，它利用强大的大语言模型作为大脑来执行多模态任务。MLLM令人惊讶的新兴能力，如基于图像写故事和无OCR的数学推理，在传统方法中是罕见的，这表明了一条通往人工通用智能的潜在道路。在本文中，追踪多模态大模型最新热点，讨论多模态关键技术以及现有在情绪识别上的应用。腾讯AILab发表了一篇关于多模态大模型的最新综述《MM-LLMs:RecentA
创设问题情境的策略平常心666
创设情境要有情趣案例：可以圈多少地如何让孩子喜欢数学，是数学教师必须思考和解决的问题。有趣的情境会吸引学生，使学生主动走近数学学习。因此，教师要结合学生的年龄特点和实际生活，创造出富有数学情趣的情境。创设情境要有生活案例：克与千克的生活情境正如著名数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”数学与现实生活有着密切的联系。创设情境要有问题案例：喝出
【机器人建模和控制】读书笔记 Piccab0o 机器人
机器人建模和控制——马克·斯庞A.x10=x1∙x0x^0_1=x_1\bulletx_0x10=x1∙x0，其实就是：1）x1x_1x1轴向量在O0O_0O0系下的坐标2）在x0x_0x0轴上的投影3）坐标变换矩阵的R10R_1^0R10的第一个元素B.点p在o1x1y1z1o_1x_1y_1z_1o1x1y1z1系下的坐标p1p^1p1可以表示为：p=ux1+vy1+wz1p=ux_1+vy_
python 读写csv文件方法菩提本无树007 python pandas 开发语言
csv是一种结构化文件，可以将文本转化成矩阵的形式，方便程序读取和处理。下面来介绍一下使用python读写csv文件的方法：1.首先需要使用pip安装python包，然后将csv文件解压到一个文件夹下2.使用pip安装python包，安装完成后在终端输入：3.在终端输入命令：4.输入完成后，打开终端，在命令行输入以下代码：5.最后输出结果，可以看到csv文件已经打开了。6.将csv文件放入到pyt
丁俊贵之《“女人和男人”那些事》兴时态_198812
【“女人和男人”那些事】生活中，我们经常用性别来给很多现象和问题贴标签。比如：女性发脾气是常见的事情，所以不要跟她们讲道理，要让着她们；女性考虑问题总是比较感性，不如男性那么理性、严谨、全面；女生的数学成绩普遍比较差，因此选文科的女生更多；……许许多多像这样的认知，已经成为我们根深蒂固的信念。我们在生活中哪怕不会直接这样讲，但多多少少都会有类似的想法和感受，并且用这些信念去理解和认知他人。一、人世
MATLAB语言基础教程、小项目1：简单的计算器、小项目2：有页面的计算器、使用App Designer创建GUI计算器 azuredragonz 学习教程 matlab 开发语言
MATLABMATLAB语言基础教程1.MATLAB简介2.基本语法变量与赋值向量与矩阵矩阵运算数学函数控制流3.函数4.绘图案例：简单方程求解小项目1：简单的科学计算器功能代码项目说明小项目2：有页面的计算器使用AppDesigner创建GUI计算器主要步骤：完整代码（使用MATLAB编写）说明：如何运行：小项目总结MATLAB语言基础教程1.MATLAB简介MATLAB（矩阵实验室）是一种用于
搞笑的数学老师鹿悦
今天,陈老师来到了我们班,我们都一脸闷闷不乐的写着家庭作业。陈老师一提到回答问题,我们的脸都快要掉到抽屉里了。"小牛，你来回答一下这道题。"突然，我们班都安静的鸦雀无声，紧接着一阵哄堂大笑的声音在班里回荡着。我们都说陈老师很有意思：史卓听就叫小史，曲子昱就叫小曲，朱宇豪就叫小朱，于恩智就叫小于。至于我呀，陈老师经常叫我小佑或者小张2号。（因为班里有许多姓张的同学）。我们都非常喜欢这个风趣幽默的陈老
希希~嗯嗯~ 猪猪女孩小哒哒
电话铺垫无聊天当天来上课的情况：外婆陪三岁的希希，妈妈陪小的大的上课规则感建立的还算不错，二的满场跑完全坐不住妈妈想找外教早教机构，因为大的在托班，里面会有数学、外教等分支教学课程。老二妈妈没怎么带教二宝。妈妈想给她找语言妈妈问有没有英文我的回答是英文课会有中教，应该回答中外教一起妈妈夸赞宝宝10个月会走了，今天见到的情形是宝宝走几步路就会跌倒，没有联系过爬，就开始走，长大以后模仿别人动作上面做的
如何做好人生的选择题？百科全书式天才——赫伯特·西蒙给你答案伽马有话说
赫伯特·西蒙是谁？想必知道的人非常少。但当看到他的履历后，相信没有人再怀疑他是个“天才”。西蒙出生于1916年6月15日，是个美国人，他的名字全称为赫伯特·亚历山大·西蒙，在2001年2月9日与世长辞，在这84年的岁月中，西蒙以27岁时取得的政治学博士学位为开端，先后步入了政治学、管理学、认知心理学、信息科学、人工智能、科学哲学、应用数学、统计学、运筹学、控制论、数理经济学、公共管理等领域，在这些
np.identity()/np.eye() 听风1996
两个函数的原型为：np.identity(n,dtype=None)np.eye(N,M=None,k=0,dtype=)；np.identity只能创建方形矩阵np.eye可以创建矩形矩阵，且k值可以调节，为1的对角线的位置偏离度，0居中，1向上偏离1，2偏离2，以此类推，-1向下偏离。值绝对值过大就偏离出去了，整个矩阵就全是0了。两者在创建单位矩阵上，并无区别，两者的区别主要在接口上；np.i
5/3亲子践行豆果妈
90天打卡累计天数：53/90#宣言（做好当知当觉的父母，处理情绪是第一步）#孩子第一个30天目标：每晚21:45前睡觉家长第一个30天目标：每晚23:00前睡觉加油小宝（黄唯嘉+10岁）践行打卡53/901.早睡早起：22：30-8：302.先吃青蛙：13.️今日闪光点：（1）早晨和爸爸一起去晨跑（2）上午带弟弟，陪弟弟玩了一个上午（3）下午完成了部分作业，还剩数学卷和采访小报#父母教练检视#孩
图像匹配---（Python）阳光下的Smiles Python图像处理
图像匹配---（Python）图像匹配分为以灰度为基础的匹配和以特征为基础的匹配：（1）灰度匹配是基于像素的匹配。灰度匹配通过利用某种相似性度量，如相关函数、协方差函数、差平方和、差绝对值和等测度极值，判定两幅图像中的对应关系。（2）特征匹配则是基于区域的匹配。基于特征的匹配所处理的图像一般包含的特征有颜色特征、纹理特征、形状特征、空间位置特征等1、差分矩阵求和差分矩阵=图像A矩阵数据-图像B矩阵
xml解析小猪猪08 xml
1、DOM解析的步奏准备工作： 1.创建DocumentBuilderFactory的对象 2.创建DocumentBuilder对象 3.通过DocumentBuilder对象的parse(String fileName)方法解析xml文件 4.通过Document的getElem
每个开发人员都需要了解的一个SQL技巧 brotherlamp linux linux视频 linux教程 linux自学 linux资料
对于数据过滤而言CHECK约束已经算是相当不错了。然而它仍存在一些缺陷，比如说它们是应用到表上面的，但有的时候你可能希望指定一条约束，而它只在特定条件下才生效。使用SQL标准的WITH CHECK OPTION子句就能完成这点，至少Oracle和SQL Server都实现了这个功能。下面是实现方式： CREATE TABLE books ( id &
Quartz——CronTrigger触发器 eksliang quartz CronTrigger
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2208295 一.概述 CronTrigger 能够提供比 SimpleTrigger 更有具体实际意义的调度方案，调度规则基于 Cron 表达式，CronTrigger 支持日历相关的重复时间间隔（比如每月第一个周一执行），而不是简单的周期时间间隔。二.Cron表达式介绍 1）Cron表达式规则表 Quartz
Informatica基础 18289753290 Informatica Monitor manager workflow Designer
1. 1）PowerCenter Designer：设计开发环境，定义源及目标数据结构；设计转换规则，生成ETL映射。 2）Workflow Manager：合理地实现复杂的ETL工作流，基于时间，事件的作业调度 3）Workflow Monitor：监控Workflow和Session运行情况，生成日志和报告 4）Repository Manager：
linux下为程序创建启动和关闭的的sh文件，scrapyd为例酷的飞上天空 scrapy
对于一些未提供service管理的程序每次启动和关闭都要加上全部路径，想到可以做一个简单的启动和关闭控制的文件下面以scrapy启动server为例，文件名为run.sh： #端口号，根据此端口号确定PID PORT=6800 #启动命令所在目录 HOME='/home/jmscra/scrapy/' #查询出监听了PORT端口
人--自私与无私永夜-极光
今天上毛概课,老师提出一个问题--人是自私的还是无私的,根源是什么? 从客观的角度来看,人有自私的行为,也有无私的
Ubuntu安装NS-3 环境脚本随便小屋 ubuntu
将附件下载下来之后解压，将解压后的文件ns3environment.sh复制到下载目录下（其实放在哪里都可以，就是为了和我下面的命令相统一）。输入命令： sudo ./ns3environment.sh >>result 这样系统就自动安装ns3的环境，运行的结果在result文件中，如果提示 com
创业的简单感受 aijuans 创业的简单感受
2009年11月9日我进入a公司实习，2012年4月26日，我离开a公司，开始自己的创业之旅。今天是2012年5月30日，我忽然很想谈谈自己创业一个月的感受。当初离开边锋时，我就对自己说：“自己选择的路，就是跪着也要把他走完”，我也做好了心理准备，准备迎接一次次的困难。我这次走出来，不管成败
如何经营自己的独立人脉 aoyouzi 如何经营自己的独立人脉
独立人脉不是父母、亲戚的人脉，而是自己主动投入构造的人脉圈。“放长线，钓大鱼”，先行投入才能产生后续产出。现在几乎做所有的事情都需要人脉。以银行柜员为例，需要拉储户，而其本质就是社会人脉，就是社交！很多人都说，人脉我不行，因为我爸不行、我妈不行、我姨不行、我舅不行……我谁谁谁都不行，怎么能建立人脉？我这里说的人脉，是你的独立人脉。以一个普通的银行柜员
JSP基础百合不是茶 jsp 注释隐式对象
1,JSP语句的声明 <%! 声明 %> 　　声明：这个就是提供java代码声明变量、方法等的场所。表达式 <%= 表达式 %> 　　这个相当于赋值，可以在页面上显示表达式的结果，程序代码段/小型指令　<% 程序代码片段 %> 2,JSP的注释
web.xml之session-config、mime-mapping bijian1013 java web.xml servlet session-config mime-mapping
session-config 1.定义： <session-config> <session-timeout>20</session-timeout> </session-config> 2.作用：用于定义整个WEB站点session的有效期限，单位是分钟。 mime-mapping 1.定义： <mime-m
互联网开放平台（1） Bill_chen 互联网 qq 新浪微博百度腾讯
现在各互联网公司都推出了自己的开放平台供用户创造自己的应用，互联网的开放技术欣欣向荣，自己总结如下： 1.淘宝开放平台(TOP) 网址：http://open.taobao.com/ 依赖淘宝强大的电子商务数据，将淘宝内部业务数据作为API开放出去，同时将外部ISV的应用引入进来。目前TOP的三条主线： TOP访问网站：open.taobao.com ISV后台：my.open.ta
【MongoDB学习笔记九】MongoDB索引 bit1129 mongodb
索引可以在任意列上建立索引索引的构造和使用与传统关系型数据库几乎一样,适用于Oracle的索引优化技巧也适用于Mongodb 使用索引可以加快查询,但同时会降低修改,插入等的性能内嵌文档照样可以建立使用索引测试数据 var p1 = { "name":"Jack", "age&q
JDBC常用API之外的总结白糖_ jdbc
做JAVA的人玩JDBC肯定已经很熟练了，像DriverManager、Connection、ResultSet、Statement这些基本类大家肯定很常用啦，我不赘述那些诸如注册JDBC驱动、创建连接、获取数据集的API了，在这我介绍一些写框架时常用的API，大家共同学习吧。 ResultSetMetaData获取ResultSet对象的元数据信息
apache VelocityEngine使用记录 bozch VelocityEngine
VelocityEngine是一个模板引擎，能够基于模板生成指定的文件代码。使用方法如下： VelocityEngine engine = new VelocityEngine();// 定义模板引擎 Properties properties = new Properties();// 模板引擎属
编程之美-快速找出故障机器 bylijinnan 编程之美
package beautyOfCoding; import java.util.Arrays; public class TheLostID { /*编程之美假设一个机器仅存储一个标号为ID的记录，假设机器总量在10亿以下且ID是小于10亿的整数，假设每份数据保存两个备份，这样就有两个机器存储了同样的数据。 1.假设在某个时间得到一个数据文件ID的列表，是
关于Java中redirect与forward的区别 chenbowen00 java servlet
在Servlet中两种实现： forward方式：request.getRequestDispatcher(“/somePage.jsp”).forward(request, response); redirect方式：response.sendRedirect(“/somePage.jsp”); forward是服务器内部重定向，程序收到请求后重新定向到另一个程序，客户机并不知
[信号与系统]人体最关键的两个信号节点 comsci 系统
如果把人体看做是一个带生物磁场的导体,那么这个导体有两个很重要的节点,第一个在头部,中医的名称叫做百汇穴, 另外一个节点在腰部,中医的名称叫做命门如果要保护自己的脑部磁场不受到外界有害信号的攻击,最简单的
oracle 存储过程执行权限 daizj oracle 存储过程权限执行者调用者
在数据库系统中存储过程是必不可少的利器，存储过程是预先编译好的为实现一个复杂功能的一段Sql语句集合。它的优点我就不多说了，说一下我碰到的问题吧。我在项目开发的过程中需要用存储过程来实现一个功能，其中涉及到判断一张表是否已经建立，没有建立就由存储过程来建立这张表。 CREATE OR REPLACE PROCEDURE TestProc IS fla
为mysql数据库建立索引 dengkane mysql 性能索引
前些时候，一位颇高级的程序员居然问我什么叫做索引，令我感到十分的惊奇，我想这绝不会是沧海一粟，因为有成千上万的开发者（可能大部分是使用MySQL的）都没有受过有关数据库的正规培训，尽管他们都为客户做过一些开发，但却对如何为数据库建立适当的索引所知较少，因此我起了写一篇相关文章的念头。最普通的情况，是为出现在where子句的字段建一个索引。为方便讲述，我们先建立一个如下的表。
学习C语言常见误区如何看懂一个程序如何掌握一个程序以及几个小题目示例 dcj3sjt126com c 算法
如果看懂一个程序，分三步 1、流程 2、每个语句的功能 3、试数如何学习一些小算法的程序尝试自己去编程解决它，大部分人都自己无法解决如果解决不了就看答案关键是把答案看懂，这个是要花很大的精力，也是我们学习的重点看懂之后尝试自己去修改程序，并且知道修改之后程序的不同输出结果的含义照着答案去敲调试错误
centos6.3安装php5.4报错 dcj3sjt126com centos6
报错内容如下: Resolving Dependencies --> Running transaction check ---> Package php54w.x86_64 0:5.4.38-1.w6 will be installed --> Processing Dependency: php54w-common(x86-64) = 5.4.38-1.w6 for
JSONP请求 flyer0126 jsonp
使用jsonp不能发起POST请求。 It is not possible to make a JSONP POST request. JSONP works by creating a <script> tag that executes Javascript from a different domain; it is not pos
Spring Security（03）——核心类简介 234390216 Authentication
核心类简介目录 1.1 Authentication 1.2 SecurityContextHolder 1.3 AuthenticationManager和AuthenticationProvider 1.3.1 &nb
在CentOS上部署JAVA服务 java--hhf java jdk centos Java服务
本文将介绍如何在CentOS上运行Java Web服务，其中将包括如何搭建JAVA运行环境、如何开启端口号、如何使得服务在命令执行窗口关闭后依旧运行第一步：卸载旧Linux自带的JDK ①查看本机JDK版本 java -version 结果如下 java version "1.6.0"
oracle、sqlserver、mysql常用函数对比[to_char、to_number、to_date] ldzyz007 oracle mysql SQL Server
oracle &n
记Protocol Oriented Programming in Swift of WWDC 2015 ningandjin protocol WWDC 2015 Swift2.0
其实最先朋友让我就这个题目写篇文章的时候，我是拒绝的，因为觉得苹果就是在炒冷饭，把已经流行了数十年的OOP中的“面向接口编程”还拿来讲，看完整个Session之后呢，虽然还是觉得在炒冷饭，但是毕竟还是加了蛋的，有些东西还是值得说说的。通常谈到面向接口编程，其主要作用是把系统设计和具体实现分离开，让系统的每个部分都可以在不影响别的部分的情况下，改变自身的具体实现。接口的设计就反映了系统
搭建 CentOS 6 服务器(15) - Keepalived、HAProxy、LVS rensanning keepalived
（一）Keepalived （1）安装 # cd /usr/local/src # wget http://www.keepalived.org/software/keepalived-1.2.15.tar.gz # tar zxvf keepalived-1.2.15.tar.gz # cd keepalived-1.2.15 # ./configure # make &a
ORACLE数据库SCN和时间的互相转换 tomcat_oracle oracle sql
SCN（System Change Number 简称 SCN）是当Oracle数据库更新后，由DBMS自动维护去累积递增的一个数字，可以理解成ORACLE数据库的时间戳，从ORACLE 10G开始，提供了函数可以实现SCN和时间进行相互转换；　　用途：在进行数据库的还原和利用数据库的闪回功能时，进行SCN和时间的转换就变的非常必要了；　　操作方法：　　1、通过dbms_f
Spring MVC 方法注解拦截器 xp9802 spring mvc
应用场景，在方法级别对本次调用进行鉴权，如api接口中有个用户唯一标示accessToken,对于有accessToken的每次请求可以在方法加一个拦截器，获得本次请求的用户，存放到request或者session域。 python中，之前在python flask中可以使用装饰器来对方法进行预处理，进行权限处理先看一个实例,使用@access_required拦截： ?

按字母分类： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 其他