泰勒公式求极限习题

前置知识

泰勒公式求极限

习题

求$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^{{\sin }^{2}x}-\cos (2\sqrt{x})-2x}{x^2}$

解：
$\sin x=x+o(x^2)$

$e^{u^2}=1+u^2+o(u^2)(u\to 0)$

\qquad 当$x\to 0$时，$u=\sin x\sim x$，所以

$e^{{\sin }^{2}x}=1+[x+o(x^2){]}^2+o(x^2)=1+x^2+o(x^2)$

\qquad 因为

$\cos (2\sqrt{x})=1-\frac{1}{2!}(2\sqrt{x}{)}^2+\frac{1}{4!}(2\sqrt{x}{)}^4+o(x^2)=1-2x+\frac{2}{3}{x}^2+o(x^2)$

\qquad 所以

\qquad 原式$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{[1+x^2+o(x^2)]-[1-2x+\frac{2}{3}{x}^2+o(x^2)]-2x}{x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{3}{x}^2+o(x^2)}{x^2}=\frac{1}{3}$