实践一个GNSS系统的基础理论和工程概念

摘要

\qquad 全球导航卫星系统(GNSS)使用准确、稳定的星载时钟和地面时钟为全球用户提供位置和时间服务。这些时钟具有引力和运动频移，它们是如此之大，以至于不仔细考虑众多相对论影响，系统就无法正常工作。本文基于广义相对论讨论实践一个GNSS系统的基础理论和工程概念，其中必须考虑的相对论原理及效应包括：光速不变性、等价原理、Sagnac效应、时间膨胀、引力频移、以及同步相对性。

1、系统精度和引力理论

\qquad 当我们象美国全球定位系统(GPS)和中国北斗系统(BDS)那样，应用多颗地球卫星组成的星座，为全球近地表用户提供全天候导航和定位服务时，要求星座中的每颗卫星连续不断地发射调制了卫星时间和位置信息的测距电磁信号，以便用户接收机进行接收、解码、测距、定位解算。

\qquad 在这些全球导航卫星系统(GNSS)中，卫星典型地沿着距离地球2~4万公里的近椭圆轨道运行，作用在它们上面的基本作用力是引力，主要是地球引力，其次是月球、太阳、以及太阳系其它星体的摄动力，因此引力理论是卫星轨道运动的物理基础。迄今为止，得到普遍接受和实践检验的引力理论有两种，经典的牛顿引力论和现代的爱因斯坦广义相对论(GRT)。对于数十米或更低精度的卫星定轨，以及精度与此相当的定时和测距，在牛顿引力论框架内就能实现。对于米级或更高精度的要求，则必须在GRT理论框架内讨论。只有这样，才能保证理论、模型、工程设计、实际观测资料、以及数据处理和解释的一致，才能无歧义地满足设计目标和精度要求。

\qquad 于是，如果将系统的用户定位精度确定为优于米级，讨论和实现就必须限定在GRT理论框架之内，并且除地球的球形引力外，还应考虑地球的非球形引力摄动，以及月球、太阳的引力摄动。然而，GRT场方程的一般形式是非线性的，相当复杂，目前尚无二体和多体问题的精确解，且无法在相应引力场中建立整体坐标系。那么，能否在保证定位精度前提下，对场方程予以简化，使得简化后的引力场满足场线性叠加要求，并能在其中建立整体坐标系呢？答案是可以，且理论是现成的，即GRT场方程的后牛顿近似。

\qquad 相比于牛顿引力论，后牛顿近似的数学理论并不复杂多少。不过，为了做到真正在GRT理论框架中讨论卫星定位，必须摒弃牛顿引力论中的一些物理概念。例如：在GRT时空中，引力不再是外力，它由时空弯曲来表现；线性叠加也不再体现为引力（位）的线性叠加，而体现为表示时空弯曲程度的度规分量的线性叠加。

\qquad 就实用而言，引力场的线性化也很有价值。例如，考虑卫星的运动，由于度规张量的分量可以线性叠加，我们只需逐个考虑地球、月球和太阳等引力源，然后将它们各自的引力场求和就可得到总的场分布。

\qquad 本文随后将着重讨论GPS系统的基本工程实践，且只考虑地球引力作用，尽管卫星轨道的精密定轨当然需要考虑太阳和月球的引力摄动。

• 广义相对论–1972讲稿
• 广义相对论–从A到B

2、地球引力场的度规

\qquad 为了计算地球引力，必须求出引力场的具体表达式。GRT场方程的最简单解是静止的球对称刚体周围的引力场，例如：不考虑自转和公转的地球引力场。以引力体的质量中心建立球坐标系{r,θ,φ}，史瓦西(Schwarzschild)在广义相对论建立不久（1916年）就求出了这个解，通常称作史瓦西度规，标准形式为：

$$-d{s}^2=-(1+\frac{2V}{c^2})(cdt{)}^2+(1+\frac{2V}{c^2}{)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2)(1)$$

其中$V$为地球的牛顿引力位，近似表达式为：
$$V=-\frac{G{M}_E}{r}[1-J_2(\frac{a_1}{r}{)}^2{P}_2(\cos \theta )](2)$$

在方程(2)中，$G{M}_E=3.986004418\times 10^{14}{m}^3/s^2$，为地球质量和牛顿引力常数之积；$J_2=1.0826300\times 10^{-3}$，为地球的四极矩系数；$a_1=6.3781370\times 10^{6}m$，为地球赤道半径［在本文中，这些常数都使用WGS-84 (G873) 中的数值］。角度$\theta$为从自转对称轴向下量度的极角；$P_2$为2-阶勒让德多项式。在使用方程(1)时，只需保留小量$V/c^2$的1-阶项就能获得足够近似。方程(2)中的更高阶极矩贡献对GPS中的相对论影响很小。

\qquad 史瓦西度规是一种严格解，不具备线性叠加和建立整体坐标系的性质。下面讨论史瓦西度规的弱场近似。它指在引力场较弱的情况下，时空度规$g_{\mu \nu }$可以表示为对闵氏度规${\eta }_{\mu \nu }$的微小偏离$h_{\mu \nu }$：

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }(|h_{\mu \nu }|<<1)(3)$$

\qquad 定义星体的引力半径（或史瓦西半径）如下 ：

$$R_g=\frac{2GM}{c^2}$$

它反映了星体周围引力场的强弱。地球和太阳的$R_g$分别为$8.87\times 10^{-3}m$和$2.95\times 10^{3}m$。由此，可计算出地球和太阳表面的$|h_{00}=R_g/R|$（$R$为对应的地球和太阳半径）分别为$10^{-9}$和$10^{-6}$，满足弱场近似条件。

\qquad 在弱场近似条件下，方程(1)可近似为：

$$-d{s}^2=-(1+\frac{2V}{c^2})(cdt{)}^2+(1-\frac{2V}{c^2})d{\sigma }^2(4)$$

式中：$dt$称作地心坐标时(Geocentric Coordinate Time, GGT)，指远离地球的时钟记录的时间；$d\sigma$是欧氏几何长度：

$$d\sigma =(d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2{)}^{1/2}(5)$$

\qquad 一般将式(4)称作史瓦西度规的弱场近似。史瓦西度规的弱场近似和一阶后牛顿近似(1PN)的表达式相同，故也称作后牛顿近似(PN)。

3、地心惯性系的定义

\qquad 在后牛顿近似中，可以定义整体时空坐标系统，这对讨论卫星定位系统的时空背景是很方便的。以下是在一个将地球表面和卫星轨道包裹在内的环形带上，定义这样一个坐标系统的基本考虑。

• 首先，选择地球作为参考物。在卫星系统涉及的空间中，忽略地球围绕太阳的公转和太阳在宇宙中的运动，则地心相对遥远的星系可以看成固定不变。所以在研究地球周围大范围内的场分布和运动情况时，一般选择地球作为参考物。
• 第二，分离坐标系时间轴和空间轴。地球引力场基本可看成不随时间变化，即可看成一种稳态场；进一步，忽略自某个历史时间点之后的地球自转，可将地球引力场看成一种静态场。在静态引力场中，可以将时间轴和空间轴分离，定义时间轴与空间轴相互正交的坐标系，简称时轴正交坐标系。
• 第三，定义空间坐标系。虽然由于地球进动和章动，地球极轴在不同时间并非固定不变，但我们可以规定：将某个时间点的极轴作为标准（称作协议地轴），它是固定不变的；另外，地球上存在两个（相对于太阳的）固定平面，一个是与自转轴垂直的赤道面，另一个是围绕太阳公转的轨道平面——黄道面，两个平面的交角约为23.5°。赤道面和黄道面在地球表面的交点称作春分点Γ和秋分点Γ’，两点的连线当然也是固定不变的。以地心为空间坐标原点O，以地球极轴为Z轴、地心到春分点的连线为X轴，再作垂直于平面XOZ的Y轴，就构成了地心天球坐标系，简称地心坐标系(Geocentric Reference System, GCS)。
• 第四，定义时间坐标系统。对时间的描述也须建立一个基准，这就是时间坐标轴（时间参考系统）。时间坐标轴零点的规定不是很重要，但为了保证测量高精度，时间轴上的刻度（时间尺度，秒长）必须相当精确和稳定。这是因为卫星定位中的距离测量实际上是通过测量电磁波的传播时间实现的。在地心惯性系中使用的坐标时称为地心坐标时。有关坐标时的定义和实现将在下一节专门介绍。

\qquad 至此，我们定义了一个整体坐标系。虽然以广义相对论观点看，只有无引力且无转动的参考系才是惯性系，地心坐标系不是严格意义上的惯性系。但是，我们可以采用这样的观点：认为运动学的基础是闵氏时空，广义相对论是比牛顿万有引力定律更精确的动力学理论。这样，在忽略地球围绕遥远恒星加速运动的情形下，就可以将地心坐标系近似看作惯性系（故也称之为地心惯性系）。在此坐标系中，光沿直线传播且在真空中速度恒定，而引力导致的时空弯曲，将被看作一种广义相对论效应，作为“微扰”来考虑。

4、坐标时间的定义

4.1 概述

\qquad 时间在GRT中不是绝对的，是需要测量的和可在一定条件下测量的。在定义了一个整体坐标系后，现在可以讨论史瓦西弱场条件下坐标时间的定义了。首先讨论卫星时钟同步。

\qquad 在卫星定位系统中，卫星时间主要由卫星携带的原子钟维持，辅助地由地面运行控制系统(OCS)监控和维护，后者也配备了若干台作为参考的原子钟。可以认为这些原子钟最初是全同的，即放置在相同地点观测时，它们的固有时间速率完全相同。当将它们用于系统不同目的时，一般而言，由于运动状态和所受引力场影响的差异，它们的走速也会不同。于是，在这些时钟能够作为系统不同场合或时空点上的计时标准（坐标时）之前，需要对它们进行同步。事实上，我们必须在GRT框架内统一地考虑时钟影响和时钟同步。

\qquad 史瓦西弱场在地心惯性坐标系中的度规由方程(4)给出，它的地心坐标时的速率由位于无穷远处的静止原子钟确定。我们必须接受这种时间尺度定义，并将系统中使用的所有时钟调整到这个尺度上，因为在我们的系统中，定位和测量原理依赖于它。然而，在工程技术上直接实现地心坐标时显然很不方便。我们注意到，与惯性系坐标时间成常比例的时间都可以作为坐标时。这就启示我们，可以将无穷远处时钟记录的时间替换为地球上某个时钟的记录，构造一个所谓的定位系统标准时，并使其成为坐标时。我们需要选择一个便于观测和管理的地方放置它，按照度规方程(4)所揭示的时钟影响规律调整坐标时尺度，得到新时间尺度下的度规方程，以及调整参考时钟的走速来获得与无穷远处静止原子钟的等价。这样，相比于度规方程(4) +无穷远处静止原子钟的组合，新度规方程+参考时钟的组合将在时空描述上保持一致。

\qquad 具体实现卫星定位系统时，通常将参考时钟选择为静止放置在地球大地水准面上。一方面，这是很方便的，因为可以认为，GRT对于位于大地水准面上不同位置的时钟的综合影响是相同的；于是大地水准面可以作为一个统一的和视野开阔的时钟参考面。另一方面，它引入了附加因素，由于地球相对地心惯性系有自转，这种运动也会对参考时钟的走速产生影响，因而在确定新坐标时尺度时，必须加以考虑。

\qquad 进一步，对于卫星原子钟，为了让它们能够按照新时间尺度指示坐标时间，需要根据新度规方程所表达的固有时间和坐标时间之间的关系，调整它们的走速。调整后的卫星原子钟，在地面观测者看来，走速与地面参考原子钟完全一致，对前者的跳动进行计数就形成了卫星的时间，经过时间原点校准后就形成了真正可用的卫星坐标时。

4.2 地球系的度规

\qquad 对于度规表达式(4)，借助一个旋转变换，可以变换到一个旋转的地心地固坐标系统(ECEF coordinate system) 中。使用球极坐标，这个变换为：

$$t=t^{\prime },r=r^{\prime },\theta ={\theta }^{\prime },\varphi ={\varphi }^{\prime }+{\omega }_E{t}^{\prime }$$

在进行变换时，只保留$1/c^2$量级的项，则不变间隔为：

$$\begin{gathered} -d{s}^2=-[1+\frac{2V}{c^2}-(\frac{{\omega }_E{r}^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }}{c}{)}^2](cd{t}^{\prime }{)}^2+2{\omega }_E{r}^{\prime 2}{\sin }^2{\theta }^{\prime }d{\phi }^{\prime }d{t}^{\prime } \\ +(1-\frac{2V}{c^2})(d{r}^{\prime 2}+r^{\prime 2}d{\theta }^{\prime 2}+r^{\prime 2}{\sin }^2{\theta }^{\prime }d{\phi }^2)(6) \end{gathered}$$

在这个旋转框架中，度规张量分量$g_{00}^{\prime }$为：

$$g_{00}^{\prime }=-[1+\frac{2V}{c^2}-(\frac{{\omega }_E{r}^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }}{c}{)}^2]=-(1+\frac{2\Phi }{c^2})(7)$$

其中$\Phi$为旋转框架中的有效引力位，它包括地球的静态引力位以及一个向心位项。

4.3 地球上的静止时钟和大地水准面

\qquad 对于地球上的一台静止时钟，方程(6)简化为：

$$-d{s}^2=-[1+\frac{2V}{c^2}-(\frac{{\omega }_E{r}^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }}{c}{)}^2](cd{t}^{\prime }{)}^2(8)$$

\qquad 在方程(4)和(6)中，坐标时间的速率由无穷远处的静止原子钟确定。而在卫星定位系统具体实现中，并不存在这样的便于参考时钟放置和管理的静止空间地点，因此实际的参考时钟一般都静止放置在地球大地水准面上。地球大地水准面上的有效引力位为一常数${\Phi }_0$，数值可以在赤道处确定，那里的${\theta }^{\prime }=\pi /2$，$r^{\prime }=a_1$，因此由方程(7)和方程(8)，可得：

$$\begin{gathered} \frac{{\Phi }_0}{c^2}=-\frac{G{M}_E}{a_1{c}^2}-\frac{G{M}_E{J}_2}{2a_1{c}^2}-\frac{{\omega }_E^2{a}_1^2}{2c^2} \\ =-6.95348\times 10^{-10}-3.764\times 10^{-13}-1.203\times 10^{-12} \\ =-6.96927\times 10^{-10}(9) \end{gathered}$$

于是，对于这个有效位，存在三部分不同贡献：地球质量引起的简单部分$1/r$；来自四极位(quadrupole potential)的较复杂部分；以及由地球自转引起的向心位项。引力位的主要贡献来自地球质量；向心位校正约小500倍；四极位校正约小2000倍。这些贡献在上面这个方程中之所以被$c^2$除，是因为它更容易表达位于大地水准面上的一台静止原子钟的时间增量。在国际天文联合会(International Astronomical Union)的最近决议中，已经采纳数值${\Phi }_0/c^2=-6.969290134\times 10^{-10}$定义“大地时 (Terrestrial Time)”标度(TT)。方程(9)与这个定义的一致性在GPS所需的精度之内。

\qquad 根据方程(6)，对于位于大地水准面上的时钟：

$$d\tau =\frac{ds}{c}=d{t}^{\prime }(1+\frac{{\Phi }_0}{c^2})(10)$$

与静止于无穷远处的时钟相比，静止于这个旋转大地水准面上的时钟的运转要慢约$10^{10}$分之7。注意这些影响的总和比一台高性能铯时钟的相对频率稳定性要大10,000倍左右。

\qquad 大地水准面上的静止观察者根据原子钟的固有速率定义时间单位。在方程(10)中，${\Phi }_0$为一常数。在方程(10)的左边，$d\tau$为流逝在一台静止标准时钟上的固有时间的增量，用流逝的坐标时间$d{t}^{\prime }$表示。因此，出现了一个非常有用的结果，即静止在旋转地球的大地水准面上的理想时钟都以相同速率跳动。这是合理的，因为地球表面是旋转框架中的一个引力等位面。（它对于实际大地水准面是也正确的， 而且可以构造一个模型。）考虑位于不同纬度上的两台时钟，由于地球扁率，更北的那个更接近地心，因此会红移得更多。不过，由于它同时更接近于自转轴，运动得更慢，因此受到更小的2-阶多普勒频移的影响。这个组合影响在大地水准面上完全抵消了。

4.4 定义新坐标时间尺度

\qquad 由于大地水准面上的所有静止时钟以相同速率跳动，利用这一事实重新定义坐标时间就具有优势。在方程(4)中，坐标时间速率用无穷远处的静止标准时钟定义。取而代之的是，这里要用地球表面上的静止标准时钟定义坐标时间速率。为此，使用一个常速率变换定义一种新坐标时间$t^{\prime \prime }$：

$$t^{\prime \prime }=(1+\frac{{\Phi }_0}{c^2})t^{\prime }=(1+\frac{{\Phi }_0}{c^2})t(11)$$

校正量约为$10^{10}$分之7，参见方程(9)。

\qquad 在进行了这个时间尺度改变后，地固旋转框架中的方程(6)变成：

$$\begin{gathered} -d{s}^2=-[1+\frac{2(\Phi -{\Phi }_0)}{c^2}](cd{t}^{\prime \prime }{)}^2+2{\omega }_E{r}^{\prime 2}{\sin }^2{\theta }^{\prime }d{\phi }^{\prime }d{t}^{\prime \prime } \\ +(1-\frac{2V}{c^2})(d{r}^{\prime 2}+r^{\prime 2}d{\theta }^{\prime 2}+r^{\prime 2}{\sin }^2{\theta }^{\prime }d{\phi }^{\prime 2})(12) \end{gathered}$$

其中只保留了$c^{-2}$量级的项。这一时间标度在（不旋转）地心惯性系度规［方程(4)］中给出的表达式为：

$$-d{s}^2=-[1+\frac{2(V-{\Phi }_0)}{c^2}](cd{t}^{\prime \prime }{)}^2+(1-\frac{2V}{c^2})(d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2)(13)$$

方程(12)和(13)意味着：在静止于大地水准面（其中$\Phi ={\Phi }_0$）的时钟上，所流逝的固有时间与坐标时间$t^{\prime \prime }$完全相同。大地水准面上的静止理想时钟为我们提供了所有的标准参考时钟，以上是表达这一事实的正确方式。

5、坐标时间的实现

\qquad 现在可以介绍在GPS之内进行时钟同步这个实际问题了。本文剩余部分将省略$t^{\prime \prime }$上的${}^{\prime \prime }$而只使用符号$t$，并且认为这个时间单位参考到旋转大地水准面上的UTC (USNO)，而同步是在一个底层局部惯性参考框架中建立的。由此，度规方程(13)可以写成：

$$-d{s}^2=-[1+\frac{2(V-{\Phi }_0)}{c^2}](cdt{)}^2+(1-\frac{2V}{c^2})(d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2)(14)$$

差值$(V-{\Phi }_0)$出现在方程(14)的第1项中的原因是，在表达方程(14)的底层地心局部惯性坐标系(ECI)中，时间单位是通过在一个空间相关引力场中移动时钟来确定的。

\qquad 很显然，方程(14)包含时间膨胀［运动时钟的表观变慢］和引力引起的频率移动。由于这些效应对在一台原子钟上净流逝的固有时间有影响，因此不能简单地将在轨GPS时钟上流逝的固有时间用于从一个发射事件到另一个事件的时间传递上。必须考虑与路径有关的效应。

\qquad 另一方面，按照广义相对论，方程(14)中的坐标时间变量t在一个足以覆盖地球和GPS卫星星座的坐标带中是有效的。方程(14)是近地场方程的一个近似解，它包括由地球质量分布产生的引力场。在这个局部坐标带中，坐标时间是单值的。［当然，它不是唯一的，因为仍然存在度规自由度，但方程(14)代表了一种相当简单和合理的度规选择。］因此，自然会建议使用方程(14)和(12)的坐标时间变量t作为在地球附近进行同步的基础。

\qquad 为了理解对于一台慢速移动原子钟这将如何工作，求解方程(14)中的$dt$如下。首先从所有右端项中分解出因子$(cdt{)}^2$：

$$-d{s}^2=-[1+\frac{2(V-{\Phi }_0)}{c^2}-(1-\frac{2V}{c^2}\left)\frac{d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2}{(cdt{)}^2}\right](cdt{)}^2(15)$$

通过在ECI坐标系中将速率表示为：
$$v^2=\frac{d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2}{d{t}^2}(16)$$

只需保持$c^{-2}$量级的项，使得可以忽略改变速率项的位势项。求平方根后就可得到移动时钟上的固有时间增量的近似值：

$$d\tau =\frac{ds}{c}=[1+\frac{(V-{\Phi }_0)}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}]dt(17)$$

最后，解出坐标时间增量并沿原子钟路径进行积分，得到：

$${\int }_{path}dt={\int }_{path}d\tau [1-\frac{(V-{\Phi }_0)}{c^2}+\frac{v^2}{2c^2}](18)$$

\qquad 时钟上的相对论影响，由方程(17)给出，用方程(18)校正。

\qquad 暂且假设不存在引力场。于是可以设想底层存在一个不旋转的参考框架，即一个局部惯性框架，它不与地球自转相连，但原点位于地球中心。在这个不旋转框架中，引进一组可在任何地方利用的假想标准时钟，它们都使用爱因斯坦同步过程进行了同步，并以一致的速率运行，以便同步一直保持。这些时钟显示坐标时间$t$。接着，在自转地球中引入一组环绕它分布的标准时钟，可能来回移动。人们根据每台标准时钟的已知位置和运动，对它们施加一组由方程(18)给出的校正。这就在这个地固旋转系统中产生了一个“坐标时钟时间”。这个时间使得：在每个瞬间，坐标时钟都与本地惯性框架中的一台假想的静止原子钟相一致，它的位置与这个瞬间的地基标准时钟相重合。因此，坐标时间等价于用静止于这个局部惯性框架中的标准时钟所测量的时间。而当考虑地球引起的引力场时，情形只略微复杂些，但仍然存在一个坐标时间，它可以通过计算引力红移校正［由方程(18)的第1个校正项给出］来建立。

6、卫星时钟的相对论影响

\qquad 对于卫星中的原子钟，将运动考虑为在局部ECI框架中观察是最方便的。这样，Sagnac效应就变得不相关的了。当然，在一台移动地基接收机上的Sagnac效应仍然需要考虑。引力频移和2-阶多普勒频移必须一同考虑。在本节中，将使用流逝的坐标时间表达式，方程(18), 仔细讨论这两项相对论影响。方程(18)中的${\Phi }_0$项包括了将地面静止时钟作为参考所需的时标校正。在${\Phi }_0$上，四极位贡献是方程(18)中的$-G{M}_E{J}_2/2a_1$，它贡献了$-3.76\times 10^{-13}$的相对速率校正，这个影响必须在GPS中予以考虑。另外，$V$是在卫星位置处的地球引力位。幸运地，地球四极位场随距离迅速衰减，它对卫星飞行器(SV) 上时钟频率的影响约为$10^{14}$分之一，这一影响至今都有意忽略了。

6.1 卫星轨道

\qquad 假设卫星沿开普勒轨道运行，这对GPS卫星是一个好近似，对低高度卫星则不是。这种假设产生了能够简化方程(18)的两个关系。由于忽略了地球位的四极（及其更高的多极）部分，在方程(18)中，位$V=-G{M}_E/r$。这个表达式允许我们应用卫星的牛顿轨道力学知识来估计。将卫星轨道的半长轴和偏心率分别用$a$和$e$表示。于是，轨道方程的解，即从地球中心到卫星的距离，在ECI坐标中为：

$$r=a\frac{1-e^2}{1+e\cos f}(19)$$

角$f$称为真近点角，从近地点沿着轨道到卫星的瞬时位置来量度。真近点角可以用另一个称作偏近点角的量$E$来计算，关系式是：

$$\begin{gathered} \cos f=\frac{\cos E-e}{1-e\cos E} \\ \sin f=\sqrt{1-e^2}\frac{\sin E}{1-e\cos E}(20) \end{gathered}$$

因此，表示径向距离$r$的另一种方式为：

$$r=a(1-e\cos E)(21)$$

为了得到偏近点角$E$，必须求解以下超越方程：

$$E–e\sin E=\sqrt{\frac{G{M}_E}{a^3}}(t-t_p)(22)$$

其中$t_p$为通过近地点时的坐标时间。

\qquad 在牛顿力学中，引力场为一保守场且总能量守恒。使用以上开普勒轨道方程，可以证明每单位卫星质量的总能量为：

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{G{M}_E}{r}=-\frac{G{M}_E}{2a}(23)$$

将方程(23)的$v^2$用于方程(18)，可得到在卫星时钟上流逝的坐标时间的以下表达式：

$$\Delta t={\int }_{path}d\tau [1+\frac{3G{M}_E}{2a{c}^2}+\frac{{\Phi }_0}{c^2}-\frac{2G{M}_E}{c^2}(\frac{1}{a}-\frac{1}{r}\left)\right](24)$$

方程(24)的前两个常速率校正项的值为：

$$\frac{3G{M}_E}{2a{c}^2}+\frac{{\Phi }_0}{c^2}=+2.5046\times 10^{-10}-6.9693\times 10^{-10}=-4.4647\times 10^{-10}(25)$$

结果中的负号意味轨道中的标准时钟跳动得太快，主要原因是它的频率被引力蓝移了。为了让卫星时钟，在位于大地水准面上的一位观察者看来，以事先计划好的10.23 MHz频率跳动，需要将卫星时钟频率调低，使得固有频率为：

$$[1-4.4647\times 10^{-10}]\times 10.23MHz=10.22999999543MHz(26)$$

这个调节在时钟被放入轨道之前在地面上完成。

图1 一台时钟在一个圆形轨道中的净相对频移

\qquad 图1显示了一台原子钟在一个圆形轨道中的净相对频率移动，它实质上是将方程(25)左端作为轨道半径$a$的函数（但变了一个符号）画出的。5个相对论影响源对图1有贡献。针对几种具有特殊意义的不同轨道半径，突出了它们的影响。对于诸如航天飞机这样的近地轨道器，速度很大，时间膨胀导致的减慢成为支配性影响；而对于一台GPS卫星时钟，引力蓝移更大。影响在$a$约为$9545km$处抵消。全球导航卫星系统GALILEO的轨道半径接近$30,000km$。

\qquad 关于这个频率偏移有个有趣的故事。当NTS-2卫星发射时（1977年6月23日），它装载了第1台计划放入轨道的铯原子钟。人们认识到在轨运行的时钟需要完成一项相对论校正，但尚不能确定它的大小和符号。当然，确实仍有一些人怀疑相对论影响的真实性，怀疑是否需要将它们组合进去！卫星时钟系统添加了一台频率合成器，以便卫星发射后，如果时钟速率在其最终轨道上事实上被广义相对论所预测，就开启这个合成器，将时钟调到运转所需的坐标速率上。NTS-2上的铯时钟被开启后，运转了约20天时间，对它的时钟速率进行了测量，之后才开启了那台合成器。与地面时钟相比，那个期间测得的频移为$10^{12}$分之+442.5，而广义相对论预测的为$10^{12}$分之+446.5。它们之间的差异很好地落在在轨运行时钟的准确度范围之内。因此，对于一台工作在4.2倍地球半径轨道上的时钟，这个结果给出了2-阶多普勒和引力频移组合影响约99%的置信度验证。

\qquad 附加的微小频移来自时钟漂移、环境变化、以及其它无法避免的影响。例如：无法将卫星按精确设计的期望半长轴发射到轨道上。导航电文为用户提供了卫星时钟频率校正项，以便在实行校正时，让时钟频率尽可能地接近美国海军天文台的参考时钟系综 。由于这些影响，现在已经难以用GPS来测量相对论频移。

\qquad 在最初配置GPS卫星时，规定的出厂频率偏移有点误差，因为在一个评估阶段中不经意地略去了地球向心力位的重要影响［参见方程(18)］。尽管GPS管理者在1980年代初就意识到了这个误差，但8年后才修改系统规范以反映正确的计算。随着对GPS中众多误差源了解的慢慢改善，最终使得加入这个正确的相对论计算变得富有意义。实践中通常不将这种偏移加入铷时钟，因为它们在发射期间会经历无法预测的频率跳跃。取而代之的是，当这种时钟被放置到轨道之后，测量它们的频率并将所需的实际频率校正值加到作为导航电文一部分传输的时钟校正多项式中。

6.2 偏心率校正

\qquad 方程(24)的最后一项可以使用以下表达式准确地积分，这个表达式通过对方程(22)微分得到，而积分针对偏近点角随时间的变化率进行：

$$\frac{dE}{dt}=\frac{\sqrt{G{M}_E/a^3}}{1-e\cos E}(27)$$

\qquad 还有，由于正在计算相对论校正，$ds/c\approx dt$，所以

$$\begin{gathered} \int \left[\frac{2G{M}_E}{c^2}\right(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}\left)\right]\frac{ds}{c}\approx \frac{2G{M}_E}{c^2}\int (\frac{1}{r}-\frac{1}{a})dt \\ =\frac{2G{M}_E}{a{c}^2}\int dt\left(\frac{e\cos E}{1-e\cos E}\right) \\ =\frac{2\sqrt{G{M}_{E}a}}{c^2}e(\sin E–\sin E_0) \\ =+\frac{2\sqrt{G{M}_{E}a}}{c^2}e\sin E+constant(28) \end{gathered}$$

方程(28)中的积分常数可以去掉，因为在时钟校正模型的卡尔曼滤波器计算中，这个项与其它时钟偏移影响归并在一起了。这样，由相对论影响产生的、随时间变化的时钟偏移净校正为：

$$\Delta t_r=+4.4428\times 10^{-10}e\sqrt{a}\sin E\frac{s}{\sqrt{m}}(29)$$

这项校正（在GPS中）需要由接收机来完成，它针对的是卫星发射时的坐标时间。对于一颗偏心率$e=0.01$的卫星，这一项的最大值约为23 ns。由于轨道偏心率影响，引力频移和2-阶多普勒频移会变化，于是它们在卫星上产生的组合影响也会变化，因此需要这个校正。

\qquad 方程(29)可以无近似地表示为另一种形式：

$$\Delta t_r=+\frac{2\mathbf{r}\cdot \mathbf{v}}{\sqrt{c^2}}(30)$$

其中$\mathbf{r}$和$\mathbf{v}$分别为卫星在信号发射瞬间的位置和速率。它可以应用卫星开普勒轨道表达式(20, 21, 22)来证明。这后一种形式通常应用于接收机软件实现中。

\qquad 在一个导航系统中，完全没有必要让偏心率校正由接收机来完成。在GLONASS卫星系统中，似乎确实是在电文广播之前施加这一时钟校正的。在历史上，它是由于在早期GPS卫星飞行器中可用计算能力很弱而在GPS中规定的。实际上，将这个校正组合到卫星的时间广播中更有意义。这样，广播时间事件将大大接近于坐标时间，即GPS时间。然而，由于大量接收机生产商在其产品中的投资，现在来逆转这个决定可能太晚了。不过，它确实意味着需要接收机加入这个相对论校正。因此，如果能从一台接收机获得原始形式的适当数据，人们就可以测量这个效应。

7、卫星定位的伪距测量方程

\qquad 度规方程(4)是卫星定位测量方程的基础。在卫星定位系统中，卫星通过发射电磁信号传播信息，因此可将度规方程(4)设置为$d{s}^2=0$，来求解相对于路径增量$d\sigma$的坐标时间增量：

$$dt=\frac{1}{c}(1-\frac{2V}{c^2})d\sigma (31)$$

\qquad 由上式可知，电磁信号传播的坐标速度为

$$v=\frac{d\sigma }{dt}\approx c(1+\frac{2V}{c^2})(32)$$

很明显$v<c$。

\qquad 假设有4颗在轨运行卫星，它们的时间事先经过了同步，它们在位置${\mathbf{r}}_j$上和时刻$t_j$时发射了清晰可辨的电磁信号，其中：$j=1,2,3,4$为卫星索引值。假设一台接收机在位置$\mathbf{r}$上和时刻$t$时接收了这4个电磁信号，则它可以将卫星时空坐标$(t_j,{\mathbf{r}}_j)$作为已知量，将自己相对卫星的距离作为实际观测量${\rho }_j$，而将自己的时空坐标$(t,\mathbf{r})$作为待解量，建立起由4个方程组成的方程组，来求解$(t,\mathbf{r})$。这就是卫星定位中确定用户位置和传递时间信息的原理。由此可见，确定每个电磁信号对于接收机和对应卫星之间的时空关系（测量方程）是卫星定位的前提。

\qquad 下面从电磁信号传播方程(31)开始，讨论针对一颗卫星的测量方程。

\qquad 假设在一个闵氏平直时空坐标中，位于P点的一颗卫星在时刻$t_P$发射电磁信号，位于Q点的接收机在时刻$t_Q$接收这个电磁信号，于是这个电磁信号从P点到Q点的传播时间$\Delta t_M$为：

$$\Delta t_M=t_Q-t_P=\frac{1}{c}{\int }_P^Q(1-\frac{2\Phi }{c^2})d\sigma (33)$$

这就是卫星定位的基本测量方程，它沿电磁信号传播的实际路径（非直线路径）进行积分，因此是严格的。

\qquad 由式(33)知，相对于无引力的平直时空，引力场中的电磁信号传播时间存在延迟。它由两个因素决定，电磁信号传播路径的弯曲和引力对电磁信号的坐标速度的影响；在无引力时电磁信号的路径为直线，速度为$c$；在引力场中路径发生弯曲，速度$v<c$。

\qquad 电磁信号传播路径的弯曲情况与引力场的具体分布有关，对于式(33)而言，其中的积分路径可能很复杂，而作为实际测量方程，必须得到显式表达式。值得庆幸的是，对于式(33)，相比于直线路径的积分结果，路径弯曲引入的误差小3~4个量级，因此在地球弱场和厘米级定位精度条件下，允许将电磁信号传播路径简化为直线路径。

\qquad 从发射机P到接收机Q，沿直线路径对式(33)积分，给出的结果为：

$$\Delta t_M\approx \Delta t+\Delta t_{delay}=\frac{\sigma }{c}+\frac{2G{M}_E}{c^3}\ln \left[\frac{r_1+r_2+\sigma }{r_1+r_2-\sigma }\right](34)$$

其中$r_1$和$r_2$为发射机和接收机相对地球中心的距离。式(34)右端的第一项

$$\Delta t=\frac{\sigma }{c}(35)$$

是在实际定位解算中使用的、闵氏平直时空的测量方程。式(34)右端的第二项

$$\Delta t_{delay}=\frac{2G{M}_E}{c^3}\ln \left[\frac{r_1+r_2+\sigma }{r_1+r_2-\sigma }\right](36)$$

是对电磁信号引力延迟（Shapiro时间延迟）的近似表达。从闵氏平直时空看，接收机测量的是电磁信号的实际传播时间$\Delta t_M$，因此为了使用闵氏时空的测量方程(35)，理论上必须从$\Delta t_M$中校正掉$\Delta t_{delay}$项。实践中，对于这个从卫星到地球的路径，净效应小于2 cm，对于大多数应用而言可以忽略。

8、结语

\qquad 卫星定位工程的基本任务就是定义和实践这样一个星座（坐标标架）以及维持整个星座的连续正常运转，这是保证卫星时空坐标精度的基础。通过将各颗卫星的时空坐标以电文形式调制到无线电测距信号中并将信号发射出去，接收这些信号的用户接收机只要准确测量出4颗或更多颗卫星的距离，并从中解调和计算出它们的时空坐标，就能求解出自己的时空位置。

\qquad 卫星定位解算方程的基础是爱因斯坦的光速不变原理，它只有在惯性空间才是正确的。于是，在闵氏渐进平直空间（近似惯性空间）的定位方程中，所有已知量和未知量都应是坐标量，包括：卫星时间、接收机时间、尤其是伪距。而实际测得的伪距是一个固有量，因此在将它应用到定位方程中之前，必须消除信号传播过程中的引力影响（及其它非引力因素的影响），即将它校正和投影到平直空间。

• 广义相对论–1972讲稿
• 广义相对论–从A到B