电动力学(续)

基本定义

电流定义为电荷的变化率
$$I=\frac{dq}{dt}$$
电荷密度
$$\rho =\frac{q}{V}$$
电流密度
$$j=\frac{I}{S}$$
连续方程
$$\iint j\cdot dS=-\frac{dq}{dt}$$
其微分形式为
$$\nabla \cdot j=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$$

基本方程

库伦定律

$$F_c=k_c\frac{q{q}^{\prime }}{r^2}$$
电场强度
$$E=\frac{F_c}{q^{\prime }}=k_c\frac{q}{r^2}$$
考虑$E$在球壳上的积分
$$\iint E\cdot dS=4\pi r^2{k}_c\frac{q}{r^2}=4\pi k_c\iiint \rho dV$$
而根据高斯公式
$$\iint E\cdot dS=\iiint \nabla \cdot EdV$$
所以有
$$\nabla \cdot E=4\pi k_c\rho$$

安培定律

两根距离为$d$平行导线，其中一根在单位长度上受到的作用力为
$$\frac{d{F}_a}{dl}=2k_a\frac{I{I}^{\prime }}{d}$$
这里系数前面的$2$只是为了方便而引入。对比库伦定律和安培定律，容易看出$k_c/k_a$的量纲为速度平方的量纲。通过实验测量可以得到$k_c/k_a=c^2$.

磁感应强度定义为单位电流对上式的贡献(乘一个系数$\alpha$)
$$B=2k_a\alpha \frac{I}{d}$$
这里也可以算出$E/B$的量纲为速度除以$\alpha$的量纲。考虑$B$在以其中一根导线为圆心，$d$为半径的圆周上的积分
$$\oint Bdl=2k_a\alpha \frac{I}{d}2\pi d=4\pi k_a\alpha \iint jdS$$
而根据斯托克斯定理
$$\oint Bdl=\iint \nabla \times BdS$$
于是
$$\nabla \times B=4\pi k_a\alpha j$$
旋度的散度为零，因此$\nabla \cdot j=0$. 而电流密度$j_q$满足连续性方程，一般情况下不满足$\nabla \cdot j_q=0$. 于是考虑将$j$分解为两项之和，$j=j_q+j_d$，结合前述两条件就有
$$\nabla \cdot j_d=\frac{d\rho }{dt}$$
写成积分形式就是
$$\iint j_d\cdot dS=\frac{dq}{dt}$$
将$\frac{\partial E}{\partial t}$代入上式就有
$$4\pi r^2{j}_d=\frac{r^2}{k_c}\frac{\partial E}{\partial t}$$
于是
$$\nabla \times B=4\pi k_a\alpha j_q+\frac{k_a}{k_c}\alpha \frac{\partial E}{\partial t}$$

法拉第定律

$$\nabla \times E=-k_f\frac{\partial B}{\partial t}$$

磁荷不存在

$$\nabla \cdot B=0$$

麦克斯韦方程组

综上所述，我们现在就可以写出著名的麦克斯韦方程组
$$\{\begin{array}{rl}& \nabla \cdot E=4\pi k_c\rho \\ & \nabla \times B=4\pi k_a\alpha j_q+\frac{k_a}{k_c}\alpha \frac{\partial E}{\partial t}\\ & \nabla \times E=-k_f\frac{\partial B}{\partial t}\\ & \nabla \cdot B=0\end{array}$$
因为$\nabla \times (\nabla \times E)=\nabla (\nabla \cdot E)-{\nabla }^{2}E=-k_f\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times B)$，对于无源场有$\nabla \cdot E=0$以及$\nabla \times B=\frac{k_a}{k_c}\alpha \frac{\partial E}{\partial t}$，代入前式就有
$${\nabla }^{2}E=\frac{\alpha k_a{k}_f}{k_c}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}$$
这是波动方程，而$\frac{\alpha k_a{k}_f}{k_c}$就是波速平方的倒数。实验测得该数值为$\frac{1}{c^2}$，结合前面的实验数据就有$\alpha k_f=1$. 于是麦克斯韦方程就可以简化为
$$\{\begin{array}{rl}& \nabla \cdot E=4\pi c^2{k}_a\rho \\ & \nabla \times E=-k_f\frac{\partial B}{\partial t}\\ & \nabla \times B=4\pi \frac{k_a}{k_f}{j}_q+\frac{1}{c^2{k}_f}\frac{\partial E}{\partial t}\\ & \nabla \cdot B=0\end{array}$$

介质中的麦克斯韦方程组

我们定义介质中的场强如下
$$\begin{gathered} D={ϵ}_{0}E+aP \\ H=\frac{1}{{\mu }_0}B-bM \end{gathered}$$
其中$P$为电偶极矩贡献的电极化强度，对电场有增强作用；$M$为磁矩贡献的磁化强度，对磁场有削弱作用。要求$a,b$为无量纲值，这样可确保$D$与$P$，$H$与$M$量纲一致。${ϵ}_0$称为真空电容率，${\mu }_0$称为真空导磁率。于是我们得到介质中的麦克斯韦方程组
$$\{\begin{array}{rl}& \nabla \cdot D=4\pi c^2{k}_a{ϵ}_0\rho \\ & \nabla \times E=-k_f\frac{\partial B}{\partial t}\\ & \nabla \times H=4\pi \frac{k_a}{{\mu }_0{k}_f}{j}_q+\frac{1}{{\mu }_0{ϵ}_0{c}^2{k}_f}\frac{\partial D}{\partial t}\\ & \nabla \cdot B=0\end{array}$$

电磁单位制

国际单位制

系数	值	量纲
$k_a$	$10^{-7}$	$[m][l][t{]}^{-2}[I{]}^{-2}$
$k_f$	$1$	$1$
${ϵ}_0$	$\frac{10^7}{4\pi c^2}$	$[m{]}^{-1}[l{]}^{-3}[t{]}^4[I{]}^2$
${\mu }_0$	$4\pi \times 10^{-7}$	$[m][l][t{]}^{-2}[I{]}^{-2}$
$a$	$1$	$1$
$b$	$1$	$1$

此时
$$\begin{gathered} D={ϵ}_{0}E+P \\ H=\frac{1}{{\mu }_0}B-M \end{gathered}$$
$E/B$的量纲为速度的量纲。而麦克斯韦方程组表现为
$$\{\begin{array}{rl}& \nabla \cdot E=\frac{1}{{ϵ}_0}\rho \\ & \nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ & \nabla \times B={\mu }_0(j_q+{ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t})\\ & \nabla \cdot B=0\end{array}$$
以及
$$\{\begin{array}{rl}& \nabla \cdot D=\rho \\ & \nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ & \nabla \times H=j_q+\frac{\partial D}{\partial t}\\ & \nabla \cdot B=0\end{array}$$

高斯单位制

系数	值	量纲
$k_a$	$c^{-2}$	$[c{]}^{-2}$
$k_f$	$c^{-1}$	$[c{]}^{-1}$
${ϵ}_0$	$1$	$1$
${\mu }_0$	$1$	$1$
$a$	$4\pi$	$1$
$b$	$4\pi$	$1$

此时
$$\begin{gathered} D=E+4\pi P \\ H=B-4\pi M \end{gathered}$$
$E/B$的量纲为$1$。而麦克斯韦方程组表现为
$$\{\begin{array}{rl}& \nabla \cdot E=4\pi \rho \\ & \nabla \times E=-\frac{1}{c}\frac{\partial B}{\partial t}\\ & \nabla \times B=\frac{1}{c}(4\pi j_q+\frac{\partial E}{\partial t})\\ & \nabla \cdot B=0\end{array}$$