一天掌握DFT可测性设计工程师

前言

如果了解信号处理，你一定会认为这个标题十分夸张。我也支持你的看法。我们当然不可能脱离实践和对数学的深入研究，一天之内就学会傅立叶变换的所有知识。然而，这本在线教程会通过一些非传统的方法向你解释什么是傅立叶变换、为什么要做傅立叶变换，使你的学习变得更加简单。重要的是：你将完全摆脱复杂的数学公式而掌握傅立叶变换的基本原理。本文将尝试以声音信号处理为例，用六个步骤来介绍傅立叶变换。

第一步：一些简单基础知识

要看懂本段，以下 4 点必不可少：加法、乘法、什么是 sine 和 cosine 曲线、什么是正弦曲线。显然前两点这里将省略，我只对最后一点稍加解释。你或许还记得在学校里学过三角函数，就是与角度一起用来求边长或者知道边长来求角度的公式。我们不需要完全回忆起它们，只需要知道 sine 和 cosine 曲线是什么样子就可以了。这个非常简单：如图 1 所示， 它们看起来像是由高峰和低谷组成，从观测者左边到右边无穷延伸的波浪。

 

如你所见，这两个信号都是周期的，这意味着在一段特定的时间后波形是重复的。Sine 和 cosine 波形看起来很像，只不过 sine 波形开始于零点而 cosine 波形开始于它的最大值。在实践中，我们怎么知道在给定时间内观测的信号是从零开始还是从最大值开始呢？这是一个好问题：我们不知道。现实中我们无法辨别 sine 和 cosine 波形，因此我们将这种类型的波形统称为正弦曲线。正弦曲线的重要特性就是频率，它告诉我们在给定时间会出现多少波峰和波谷。频率高意味着给定时间内出现的波峰和波谷多，反之亦然。

第二步：掌握傅立叶理论基础

Jean-Baptiste Joseph Fourier 是一个父母“又爱又恨”的孩子，因为他在 14 时就开始向他们提一些复杂的数学问题。虽然傅里叶一生中有很多富有成效的研究成果，但其中最重要的还是他发现了金属的热传导性。他推导出热在特定介质中的传导方程，并用有限次三角函数解出了该方程。与本文主题相关的是，傅里叶发现了一个通用规律——无论多复杂的信号， 都可以用一系列不同的正弦曲线的和来表示。

如下图所示：

图 3 用 sine 曲线重构给定信号

上图利用 sine 信号按一定规律求和来近似原始信号。我们简要地介绍一下这里所说的“一定规律”。正如你看到的，sine 信号越多，则结果越逼近原始信号。理想情况下信号是连续的，我们可以通过无穷小的间隔采样来测量原始信号，该精度只受限于测量设备，此时我们需要利用无穷多的 sine 曲线来完美地重建原始信号。幸运的是，作为数字信号处理者的我们并不是生活在理想世界里。取而代之的是，我们处理的“现实世界”里的信号都是以有限间隔测量的有限精度的信号。因此，我们不需要无穷多的 sine 信号，而只需要“足够多的”。何谓“足够多的”，我们将在下面介绍。此时，重要的是你要能够理解任何在你计算机中的信号都是由一系列简单 sine 信号按照一定规律组合构成的。

图 4 高频 sine 曲线

现在，我们来看这个 sine 曲线的最低频率是多少。如果只有一个采样点，我们能否判断这个点是峰值或是谷值呢？答案是不能，因为有许多周期不同的 sine 曲线都可以经过这个点。

 

 

图 5 穿过零点的一组 sine 曲线

所以，一个采样点不足以反映频率信息。如果我们有两个采样点，是不是只有最低频率的 sine 曲线经过这两个点？这种情况就简单多了，只有一条较低频率的 sine 曲线穿过这两点。如下图所示：

假想上图中最左边的两个采样点是两颗钉子，中间曲线是一根绳子。绳子的最低频率正如图中曲线所示。如果上图中的两个采样点变为 1001*个，两颗钉子是第一个和最后一个采样点，即采样点 1 和 1001*，这时绳长变为原来的 1000 倍。根据我们从乐器上得来的经验， 绳子越长，频率越低。由于我们将钉子之间的距离拉大从而得到了更低的频率。在采样间隔不变得情况下，如果我们有 2001**个采样点，钉子变为采样点 1 和 2001**。事实上，此时频率降低到了原来频率的一半，因为我们的钉子之间的距离是原来 1001*个采样点时距离的两倍。因此，如果我们有更多的采样点，我们就可以得到更低的频率，因为“钉子”之间得距离变得更远。这点对理解下面的内容非常重要。

图 6 还告诉我们，在两颗“钉子”之后，曲线开始以负斜率重复。这意味着相邻两点恰好包含了半个 sine 曲线，换句话说就是包含一个波峰或一个波谷，或１／２周期。

综上所述：sine 曲线的最高频率出现在相邻采样点恰好在曲线的相邻波峰和波谷时（图4），而最低频率出现在采样点恰好在波形半周期的边界时（图 6）。也就是说当最高频率保持不变时，即最小采样间隔不变时，采样点越多则 sine 曲线频率越低。这就导致我们需要更多的 sine 曲线去表示一个更长的未知信号，因为我们是从最低频率 sine 曲线开始重构信号的。

无论如何，至此我们仍然不知道需要多少 sine 曲线来构建原始信号。然而，当我们知道 sine 曲线的最高频率和最低频率，我们就可以计算出有多少种频率的 sine 曲线介于两者之间。因为我们已经用两颗钉子说明了如何产生最低频率，我们仍然用这两颗钉子说明其他频率如何产生。假象 sine 曲线是吉他上固定在两点之间的琴弦，它们只能在两点之间摆动

（除非琴弦断掉），如图 7  所示。由图可知：最低频率（一次谐波）为在两点之间包含 1/2个周期，二次谐波为 1 个周期，三次谐波为 3/2 个周期……1000 次谐波为 500 个周期。

 

按照上述方法，构建一条具有 1000 个采样点的波形，我们需要 1000 条 sine 曲线。事实上，我们需要与采样点相同数量的 sine 曲线来构建原始曲线。

备注 *原文为 1000，译者认为有误

**原文为 2000，译者认为有误。

以上就是给大家分享的“一天掌握DFT可测性设计工程师”具体内容，下期接着给大家分享更多的内容。