【自校正控制】使用极点配置的方式计算PID

自校正算法的核心思想是根据自学习的传递函数模型，使用特定的规则(极点配置就是其中的一种)，计算出想要的响应对应的PID参数。近期复习了一下极点配置，本章就记录一些学习到的笔记，使用极点配置的方式计算PID参数，然后验证。

求解

假设控制对象是一个一阶惯性系统，其传递函数通式为：

G = b / (s + a)

其闭环的示意图可以如下表示：

设我们的控制器即为一个PI控制器，PI控制器的传递函数为：

D(s) = Kp + Ki * 1/s

之后便可以得到闭环传递函数：

之后，可以求出闭环特征多项式的表达式，并且另闭环特征多项式等于0：

之后我们可以写出期望特征多项式等于0的通式，然后根据通式便可以求出对应的PID参数：

对于二阶系统来说，调节PID，可以得到不同的阻尼比与固有频率的系统，那么假如想要把系统调成某个对应的响应，便可以求出对应的PID参数，这里我们假定系统的 b = 1，a = 1，阻尼比为 0.7 ，固有频率Wn为 1，那么便可以得到Kp = 0.4 ，Ki = 1

验证

我们将期望的阻尼比与固有频率代入后，可以得到这一组参数对应的理想响应是怎样的，可以在matlab中打印，将阻尼比 = 0.7，固有频率 = 1代入，得到一个期望响应的传递函数：

之后使用step命令，看此期望传递函数的响应是怎样的：

大约是在7.6秒的时候稳定，之后可以使用simulink模型，将模型与PID参数代入：

确保选中的PID模块与我们的PID传递函数是一样的，因为我这里只使用了PI参数，因此D项无所谓，将计算的参数代入：

之后便可以验证我们计算出来的参数得到的响应与期望响应是否相同：

可以看到基本相同。

后续还可以将此PID的参数计算扩展到二阶系统，其实是一样的，二阶系统的闭环传递函数是三阶的，可以分解为一阶与二阶的集合，其期望特征多项式为：

举一反三，是可以求解出对应到PID参数的表达式的。