极点配置法确定滑模面系数
目录
前言
1. 对于一般通式的极点配置
2.选取滑模面s = c*x
3.极点配置实例讲解
3.1 判断(A,B)是否可控
3.2 求变换矩阵
3.3 求解滑模面系数
3.4 个人见解
前言
其实在跟踪变结构控制那篇文章已经介绍了这个方法，只是可能公式太多有点乱，在这里整理一下，跟踪变结构控制文章链接：
基于参考模型的主动悬架滑模控制(详细滑模控制推导)_Mr. 邹的博客-CSDN博客
1. 对于一般通式的极点配置
一般通式：
其中维度关系为：A为n*n，B为n*m，即n个状态变量，m个输入。
其中A和B可以改写为：
其中B1为(n-m)*m，B2为m*m。
注：B2不能为0，否则in(B2) = inf；对于多输入需要用pinv函数求伪逆。
remark 1：如果(A,B)为可控对，则(A11,A12)也是可控的。
remark2：只要rank(B)=m，则存在如下形式的变换矩阵：
将上述一般形式状态空间方程化简为标准形式，即
：
其中：
2.选取滑模面s = c*x
则由于变化矩阵的存在，所以：
![s=cx=cT^{-1}\tilde{x}=\tilde{c}\tilde{x}=[\tilde{c1} \tilde{c2}][\tilde{x1} \tilde{x2}]'](http://img.e-com-net.com/image/info8/2f41375441a34f79b5c14a8f434f43f7.gif){kind=small}
即
,其中c为m*n。
当系统到达切换面上时或者说滑动模态的条件有：s = 0，s' = 0，得到
注：这里滑模面形式为s = cx，实际上可以表示为s = ce，这里假设位置指令xd = 0即可。
所以误差动态方程为：
所以可以通过极点配置反馈保证x1以适当的指数衰减率趋向于零，则 x2也以同样的指数衰减率趋向于零。
即存在极点集：
所以最终得到滑模面系数为：
由于
为m*m的非奇异矩阵，所以通常选取为
，进而简化为：
3.极点配置实例讲解
这里以一篇论文为参考进行实例配置：
[1]周兆敏.用极点配置方法设计滑模控制器[J].信息与控制,1988(04):47-49.
3.1 判断(A,B)是否可控
A = [0 198 0;-0.64 -18.18 4.85;0 0 150];
B = [0;0;900];
Qc = ctrb(A,B);%可控性判断矩阵
np = rank(Qc);%用若rank(Qc) = n,即满秩则可控
if np == length(A)
disp('可控')
end3.2 求变换矩阵
由于是(A,B)是可控的，所以(A11,A12)也是可控的，所以可以使用极点配置
n = 3;m = 1;%矩阵维度
T = [eye(n-m) -B(1:(n-m))*inv(B(n));zeros(1,(n-m)) eye(m)];T =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3.3 求解滑模面系数
A1=T*A*inv(T);%变换后的标准型矩阵
A11=A1(1:np-1,1:np-1);
A12=A1(1:np-1,np);
p=[-29.11 -640.2];%需要配置的极点
% 计算极点配置的反馈矩阵
K=acker(A11,A12,p)
% 滑模面系数
C=[K,eye(1)]*TC =
19.2747 134.2536 1.0000
程序汇总：
% 状态方程
A = [0 198 0;-0.64 -18.18 4.85;0 0 150];
B = [0;0;900];
Qc = ctrb(A,B);%可控性判断矩阵
np = rank(Qc);%用若rank(Qc) = n,即满秩则可控
if np == length(A)
disp('可控')
end
n = 3;m = 1;%矩阵维度
T = [eye(n-m) -B(1:(n-m))*inv(B(n));zeros(1,(n-m)) eye(m)];
A1=T*A*inv(T);%变换后的标准型矩阵
A11=A1(1:np-1,1:np-1);
A12=A1(1:np-1,np);
p=[-29.11 -640.2];%需要配置的极点
% 计算极点配置的反馈矩阵
K=acker(A11,A12,p)
% 滑模面系数
C=[K,eye(1)]*T3.4 个人见解
可以看到上述的求解结果和文献不一致，文献中所用的方法是展开后进行比对，这里按照它的方法走一遍：
syms c1 c2 s
A11 = [0 198;-0.64 -18.18];
A12 = [0 4.85]';
f = A11-A12*[c1 c2];
det(s*eye(2)-f)ans =
(9603*c1)/10 + (909*s)/50 + (97*c2*s)/20 + s^2 + 3168/25
代入极点到多项式：
比对上述结果求解出
c1 =
18.4626
c2 =
130.5691
程序汇总：
syms c1 c2 s
A11 = [0 198;-0.64 -18.18];
A12 = [0 4.85]';
f = A11-A12*[c1 c2];
det(s*eye(2)-f)
% ans =
%
% (9603*c1)/10 + (909*s)/50 + (97*c2*s)/20 + s^2 + 3168/25
c1 = (17856.36-3168/25)/(9603/10)
c2 = 633.26/(97/20)可以看到通过acker函数求解结果与比对法求解结果很接近，所以个人觉得文献有些问题，欢迎批评指正！
参考文献：
[1]杨金霞. 车辆半主动悬架模型跟踪变结构控制的研究[D]. 江苏:南京林业大学,2006. DOI:10.7666/d.y913537.
[2]王亮. 汽车主动悬架模型跟踪变结构控制研究[D]. 山东:山东理工大学,2009. DOI:10.7666/d.y1507198.
[3]直驱式永磁同步风力发电机中混沌运动的滑模变结构控制[J]. 物理学报,2009,58(11):7552-7557.
[4]《变结构控制系统-姚琼荟》
[5]周兆敏.用极点配置方法设计滑模控制器[J].信息与控制,1988(04):47-49.