数字图像处理学习总结(3)：图像复原与重建

数字图像处理学习总结(3)：

图像复原与重建

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前言

图像复原技术的主要目的是以预先设定的目标来改善图像。图像复原是一个客观过程，即试图利用退化现象的某种先验知识来复原被退化的图像。复原技术面向退化模型，故而通常会设立一个最佳准则，将产生期望结果的最佳估计。相比之下，图像增强技术根据人类视觉系统的生理特点设计一种改善图像的方法，例如对比度拉伸。

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一、退化/复原模型

退化过程被建模为一个退化函数和一个加性噪声项，对于给定的输入图像进行处理，产生一幅退化后的图像。

图像复原是获得原始图像的一个估计，通常希望这一估计尽可能地接近原始输入图像。

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二、噪声模型

数字图像中，噪声主要来源于图像的获取/传输过程，成像传感器的性能受各种因素的影响，如图像获取过程中的环境条件和传感元器件自身的质量。下面给出一些常见的噪声以及其概率密度函数(PDF)。

高斯噪声：
在空间域和频率域，高斯噪声在数学上容易处理。高斯噪声源于诸如电子电路噪声以及由低照明度/高温带来的传感器噪声。


瑞利噪声：
瑞利噪声有助于在深度成像中表征噪声现象。


伽马噪声：
伽马密度在激光成像中有用。

脉冲/椒盐噪声：

如果b>a，灰度级b在图像中显示为一个亮点；反之，灰度级a在图像中显示为一个暗点。若Pa或Pb为零，脉冲噪声为单极脉冲；若Pa或Pb近似相当，脉冲噪声值类似于图像上随机分布的胡椒和盐粉微粒，故也被称为椒盐噪声。
脉冲噪声在快速过渡的情况下产生，如成像期间发生的错误开关操作。
由脉冲噪声污染的图像的外观是唯一一种引起退化、视觉上可区分的噪声类型，会在图像上形成胡椒或盐粉微粒（黑方块或白方块）。

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三、仅有噪声场景的滤波

3.1 空间滤波

当仅存在加性噪声的情况下，可选择空间滤波进行图像复原。

算术均值滤波器：
均值滤波平滑一幅图像中的局部变化，模糊了结果，降低了噪声。

几何均值滤波器：
几何均值滤波的平滑效果与算术均值滤波相当，丢失的图像细节更少。

谐波均值滤波器：
谐波均值滤波对于盐粒噪声效果较好，不适用于胡椒噪声，善于处理高斯噪声。

逆谐波均值滤波器：
适合消除椒盐噪声的影响，Q为滤波器的阶数，当Q值为正，消除胡椒噪声；当Q值为负，消除盐粒噪声。但不能同时消除两种噪声，当Q为0，简化为算术均值滤波器，当Q为-1，简化为谐波均值滤波器。在实际处理中，正阶滤波器使得暗区稍微有些淡化和模糊外，背景变得更为清晰；负阶滤波器的作用正好相反。

中值滤波器：
存在单极或双极脉冲噪声的情况下，中值滤波器尤其有效。

最大值/最小值滤波器：
最大值滤波器可降低胡椒噪声。

最小值滤波器可降低盐粒噪声。

中点滤波器：
计算滤波器范围区域中最大值和最小值的中点，对于随机分布噪声工作的最好，如高斯噪声或均匀噪声。

修正的阿尔法均值滤波器：
选择修正值d，在领域中去除d/2个最低灰度值，去除d/2个最高灰度值，由剩余像素的平均值形成的滤波器称为修正的阿尔法均值滤波器。当d取其他值，修正的阿尔法均值滤波器在包括多种噪声的情况下有用，例如高斯噪声和椒盐噪声混合的情况下。

自适应局部降低噪声滤波器：
自适应滤波器会考虑图像的一点对于其他点的特征变化，性能优于上述滤波器，但滤波器的复杂度提高了。随机变量最简单的统计度量是均值和方差，均值给出了在其计算区域平均灰度的度量，方差给出了该区域对比度的度量。在噪声减少情况，自适应滤波器的效果与算术和几何均值滤波器相似，但自适应滤波器滤波后的图像更清晰一些。

自适应中值滤波器：
自适应中值滤波器在进行滤波处理会根据某些条件而改变邻域的尺寸。算法的目的为去除椒盐噪声，平滑其他非脉冲噪声，减少诸如物体边界细化或粗化等失真。
在应用中，噪声的概率Pa或Pb越小，允许的邻域最大尺寸越大，即随着脉冲密度的增大，需要更大的窗口来消除尖峰噪声。

3.2 频率滤波

频率域技术可以有效地分析并滤除周期噪声，周期噪声在对应于周期干扰的频率处，以集中的能量脉冲形式出现。用一个选择性滤波器分离出噪声，例如带阻、带通、陷波滤波器和最佳陷波滤波器。

带阻滤波器：
带阻滤波器的主要应用之一是在频率域噪声分量的一般位置近似已知的消除噪声。例如，一幅被加性周期噪声污染的图像，噪声可近似于二维正弦函数，可选择布特沃斯带阻滤波器，设置适当的半径和宽度，完全包围噪声脉冲，并且在变换中尽可能的小地消除细节。

带通滤波器：
带通滤波器执行与带阻滤波器相反的操作，会从图像中分离出噪声图像。分离出的噪声图像会丢失图像中大部分细节，但会保留噪声信息，使得复原的噪声模式与污染图像的噪声十分相近。可知，带通滤波器帮助屏蔽了噪声模式，简化了噪声分析。

最佳陷波滤波器：
当存在集中干扰分量时，带通滤波器或者带阻滤波器就不能很好适用了。因为在滤波过程中会消除太多的图像信息，干扰成分通常也不是单频脉冲，而是携带干扰模式信息的宽边缘。讨论一种最佳方法，该方法可最小化复原的估计值的局部方差。
第一步，提取干扰模式的主频率分量，在每个尖峰处放置一个陷波带通滤波器。干扰噪声模式的频域和空间域表示：

假设被污染图像是未污染图像f(x,y)与干扰相加形成，若n(x,y)完全已知，得到f(x,y)会非常简单。正常的滤波过程只会得到真实干扰模式的近似值，考虑设置加权函数w(x,y)，选取该函数，以便以某种有意义的方法来优化结果，使得估计值在每一点的指定邻域的方差最小。

估计值的局部方差可根据样本估计：

为最小化方差：

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四、退化函数估计

主要有3种估计退化函数的方法：
观察法
寻找一个有很强信号内容的区域，例如高对比度区域，处理子图像尽可能得到不模糊的结果。假设噪声的影响由于选择了一个强信号区域而忽略不计，根据下式进行计算并还原完整的退化函数。

试验法
如果使用与获取退化图像的设备相似的装置，理论上讲，得到一个准确的退化估计是可能的。与退化图像类似的图像可以通过各种系统设置得到，直到这些图像退化到尽可能接近我们希望复原的程度。使用相同的系统对一个冲激成像，得到退化的冲激相应，将噪声的影响降低到可以忽略的程度，可根据下面式子得到退化函数。

数学建模法
退化模型是基于大气湍流的物理特性的，该模型的通用形式为：

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五、退化函数复原图像

5.1 逆滤波

根据退化函数可进行图像复原，最简单的复原方法是直接做逆滤波，用退化函数除退化图像的傅里叶变换来计算原始图像傅里叶变换的估计，即

根据上述式子可知，即便知道退化函数，也不能准确地复原未退化图像，因为噪声的傅里叶变换未知；而且更糟的是，如果退化函数为0或者是非常小的值，N/H的比值会支配估计值。
解决退化函数为0或者为非常小的值的问题的一种方法是限制滤波的频率，使其接近原点，H(0,0)在频率域通常是最高值，在其附近分析，减少了遇到零值的概率。

5.2 维纳滤波

逆滤波方法没有说明怎样处理噪声，这节讨论一种综合了退化函数和噪声统计特征进行复原处理的方法，建立在图像与噪声都是随机变量的基础上，目标是找到未污染图像f的一个估计，并且使得它们之间的均方误差最小。

误差函数最小值的表达式如下：

方括号中的项组成的滤波器也称为最小均方误差滤波器或最小二乘误差滤波器。其中许多有用的度量是以噪声和未退化图像的功率谱为基础的，最重要的是信噪比，该比值给出了携带信息的信号功率水平与噪声功率水平的度量。

在处理白噪声时，噪声频谱是一个常数，会大大简化处理。然而，未退化图像的功率谱很少是已知的，当这些量不能估计时，通常使用下面的表达式来近似。K是一个特定常数，在场景应用中，K值的交互式选择可找到最好的视觉效果。故而，只要退化函数的合理估计是可用的，维纳滤波很有可能取得较好的效果。

5.3 约束最小二乘方滤波

维纳滤波存在一些其他的困难，即未退化图像和噪声的功率谱必须是已知的。维纳滤波的近似方法能取得很好的结果然而，但功率谱比的常数估计并不总是一个合适的解。本节讨论的方法仅要求噪声方差和均值的知识，这些参数通常可从一幅给定的退化图像计算出来。
减少噪声敏感性问题的一种方法是以平滑度量的最佳复原为基础的，如一幅图像的二阶导数。期望找到一个最小准则函数C，并求解最佳估计。

对比维纳滤波和约束最小二乘滤波，对于低噪声，两种滤波的效果相近；当手工选择参数获得更好的视觉效果时，约束最小二乘滤波的效果有可能比维纳滤波的效果更好。这是由于约束最小二乘滤波的参数y是一个标量，而维纳滤波的K值是两个未知频率域函数的近似比，该比值很少是常数。

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六、投影重建图像

在本节，将研究从一系列投影重建一幅图像的问题，例如X射线计算机断层（CT）。这是当前数字图像处理在医学的主要应用之一。

6.1 投影原理

假设我们用一束细的、平行的X射线从左到右扫描，我们能观察到信号中的任意一点都是所穿过的相应的空间点的该射线束中单一射线吸收值的和。随着投影数量的增加，不相交反投影的强度相对于多个反投影相交区域的强度将降低，最终结果是，较亮区域将支配结果，图像往往会被晕环效应所模糊。

雷登变换：
给出沿xy平面中任意一条线的f(x,y)的投影的公式。

一般可以把由角度处得到的单个反投影形成的图像写成：

通过对所有的反投影的图像积分，我们得到最终图像：

6.2 傅里叶切片定理

投影的一维傅里叶变换：

傅里叶切片定理：
该定理说明一个投影的傅里叶变换是得到该投影区域的二维傅里叶变化的一个切片。因而，任意一个投影的一维傅里叶变换可以沿着一个角度提取一条线的F(u,v)的值来得到。

6.3 平行射线束反投影重建

推导其二维反傅里叶变换：

|w|是斜坡滤波器，由于函数不可积分，其反傅里叶变换没有意义。对斜坡加窗，使它在定义的频率范围之外为0。限制一个函数带宽的最简方法是在频率域使用个盒子，但盒子有不希望的振铃效应，因而可以考虑平滑窗，例如汉明窗或韩窗。在斜坡滤波器上使用汉明窗对振铃问题有相当大的帮助，但要付出稍微有点模糊的代价。

完全的反投影图像f(x,y)的计算步骤：
（1）计算每一个投影的一维傅里叶变换。
（2）用滤波函数|w|乘以每一个傅里叶变换，乘以一个合适窗。
（3）得到每一个滤波后的变换的一维傅里叶反变换。
（4）对所有一维傅里叶反变换积分求和。

取样率的选择对于图像处理结果具有深远的影响，在现在的讨论中，有两个取样考虑。第一个是所用的射线数量，决定着每个投影的取样数。第二个是旋转角度增量的数量，决定重建图像的数量。

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参考文献：
《数字图像处理》第三版 冈萨雷斯 著 阮秋琦 阮宇智 译