矩阵平方差公式成立条件的探讨

在学线性代数的时候，初学者总是会犯一个错误。
$${\mathbf{A}}^2-{\mathbf{B}}^2=(\mathbf{A}-\mathbf{B})(\mathbf{A}+\mathbf{B})$$
其中$\mathbf{A}$,$\mathbf{B}$为两个矩阵，这个等式是不一定成立的，稍微深入一点的同学可能会认为等式是错误的，其实在满足一定条件下，等式是可以成立的，在做某些题目的时候可以大大减小计算量。
下面我们来看一道题
常规做法如下：
$$\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{E}={\mathbf{A}}^2+\mathbf{B}$$
移项得
$$\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}={\mathbf{A}}^2-\mathbf{E}$$
$\mathbf{B}$矩阵提取
$$(\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{B}=\left({\mathbf{A}}^2-\mathbf{E}\right)$$
下面我们只要两边同乘一个$(\mathbf{A}-\mathbf{E}{)}^{-1}$即可得
$$\mathbf{B}=(\mathbf{A}-\mathbf{E}{)}^{-1}\left({\mathbf{A}}^2-\mathbf{E}\right)$$
这样即可解出B但是求逆是个比较麻烦的过程，但是这题我们确可以把${\mathbf{A}}^2-\mathbf{E}$化成$(\mathbf{A}-\mathbf{E})(\mathbf{A}+\mathbf{E})$，然后就可求得
$$\mathbf{B}=\mathbf{A}+\mathbf{E}$$
这样计算就相当简单了。
下面我们来探讨一下为什么矩阵的平方差不一定成立和在什么条件下平方差成立。
首先我们知道矩阵是没有交换律的，即$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$不一定成立。那么我们来看$$(\mathbf{A}-\mathbf{B})(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\mathbf{A}(\mathbf{A}+\mathbf{B})-\mathbf{B}(\mathbf{A}+\mathbf{B})={\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}\mathbf{B}-\mathbf{B}\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^2$$
我们来看看，平方差不成立主要是因为$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$不一定成立，那么如果$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$成立，那么平方差公式即成立，即$${\mathbf{A}}^2-{\mathbf{B}}^2=(\mathbf{A}-\mathbf{B})(\mathbf{A}+\mathbf{B})$$
那么如果当$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$其中有一个是单位矩阵的时候，$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$成立，因为任何矩阵和单位矩阵相乘都是其本身即$\mathbf{A}\mathbf{E}=\mathbf{E}\mathbf{A}=\mathbf{A}$，综上我们可以得出一个小结论：
当$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$其中有一个是单位矩阵的时候，可以用
$${\mathbf{A}}^2-{\mathbf{B}}^2=(\mathbf{A}-\mathbf{B})(\mathbf{A}+\mathbf{B})$$
这个结论可以用于简化计算。