函数的间断点例题

前置知识：函数的间断点

设$f(x)=\{\begin{array}{c}{e}^{\frac{1}{x-1}},x>0\\ \ln (1+x)-1,-1<x\le 0\end{array}$，求$f(x)$的间断点，并判断其类型。

解：
\qquad 在$x=0$处

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\ln (1+x)=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{e}$

\qquad 左极限$\ne$右极限，所以$x=0$为跳跃间断点

\qquad 在$x=1$处

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x-1}}=0$

$\underset{x\to 1^{-}+}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x-1}}=+\infty$

\qquad 右极限不存在，所以$x=1$为第二类间断点