关于超前补偿器和滞后补偿器的理解

关于超前补偿器和滞后补偿器的理解

预备知识之根轨迹

根轨迹的一般形式原理方框图如下

根轨迹描述的是该系统闭环传递函数的根随着增益K从零到无穷变化时而作出的图像，以上图传递函数为例，设系统传递函数为$G(s)$，则该系统闭环传递函数为$G_{close}(s)=\frac{K\ast G(s)}{1+K\ast G(s)}$，那么它的根就是令$1+K\ast G(s)=0$，即$1+K\ast \frac{1}{s^2+2s}=0$，当K从0变化到无穷时，求出s的值，并在复平面做出轨迹，此轨迹即为根轨迹，上述例子在Matlab下用rlocus作图可直接得出根轨迹，如下：

• 判断一个复数是否在根轨迹上

  将此复数分别与系统的开环传递函数的零极点相连，(注意，根轨迹研究的对象是系统的开环传递函数，但作图作的是闭环传递函数的根)，此复数与零点的夹角之和减去此复数到各极点的夹角如果等于-180度，则说明该复数在根轨迹上

超前补偿器

• 目的

  加超前补偿器的目的是让系统更稳定，收敛更快

• 原理

  超前补偿器的传递函数形式为$H(s)=\frac{s+z}{s+p}$ ，其中，$\left|z\right|<\left|p\right|$

  假设我们的系统如上，系统开环传递函数为$G(s)=\frac{K}{s(s+2)}$，此系统有两个极点，分别是0和-2，作出其根轨迹如上图所示，如果我们想要系统更加稳定，那么我们希望该闭环的根向左移动。通过根轨迹图我们知道，调整K值会有一个根为$-1+2\sqrt{3}i$，如果我们有一个根是$-2+2\sqrt{3}i$，那么此时的根一定比$-1+2\sqrt{3}i$时稳定，那么如何设计此系统才能让$-2+2\sqrt{3}i$这个根在根轨迹上呢，此时我们就需要引入超前补偿器

  将$-2+2\sqrt{3}i$这个复数与系统开环传递函数的零极点连线，零点角度相加极点角度相减，我们会发现得出的角度为-210度，不等于-180度。因此我们需要引入一个30度的零点，这样相加才得-180度，这样才能改变根轨迹使得$-2+2\sqrt{3}i$在此根轨迹上。通过几何，我们发现可以在-8上增加一个零点，此时就相当于在闭环里增加了一项$s+8$，此时就相当于用了比例微分(PD)控制器，但我们知道PD控制器对高频噪声非常敏感，所以我们在增加一个零点的同时最好再增加一个极点，增加的零极点对需满足根轨迹的几何条件。因此此时就相当于在闭环里增加了一项$H(s)=\frac{s+6}{s+10}$，$H(s)$的伯德图如下
  
  加入了这个环节后，可以改变根轨迹，使得$-2+2\sqrt{3}i$在根轨迹上，同时，从伯德图上可以看出，该环境在高频信号影响下不会无限制增大，因此不会对高频噪音过于敏感。从相频特性曲线可以看出，相角是正的，累加到系统的相位上可以使相角增大(超前)，使系统相位裕度增大，增大系统稳定性。因为相角超前，故称为超前补偿器

滞后补偿器

• 目的

  减少稳态误差

• 原理

  滞后补偿器的传递函数形式为$H(s)=\frac{s+z}{s+p}$ ，其中，$\left|z\right|>\left|p\right|$

  例如$H(s)=\frac{s+3}{s+1}$就是一个滞后补偿器的例子，伯德图如下：
  
  可以看出其相频特性曲线为负，累加到系统的相位后会使得整体相位滞后，故称为滞后补偿器。若考虑滞后补偿器的特例，即$H(s)=\frac{s+3}{s+0}$，可化简为$H(s)=1+\frac{3}{s}，$那么此时的滞后补偿器本质上就是一个比例积分控制器，我们知道PI控制器是可以消除稳态误差的，故滞后补偿器也是可以减少稳态误差的

• 注意

  设计滞后补偿器时，零极点对应尽量靠近复平面的虚轴，这样才能在减少稳态误差的同时不会过大的改变系统原有的特性(根轨迹)