关于高斯函数的学习

一、基础部分

• μ指的是期望，决定了正态分布的中心对称轴
• σ指的是方差决定了正态分布的胖瘦，方差越大，正态分布相对的胖而矮
• 方差：（x指的是平均数）

•  标准差：方差开根号
•  任何正态分布的概率密度从负无穷到正无穷积分结果都为1

二、高斯函数（一维）

a是曲线尖峰的高度，b是尖峰中心的坐标，c称为标准方差，表征的是bell钟状的宽度

高斯函数的积分是误差函数error function，尽管如此，其在整个实线上的反常积分能够被精确的计算出来，使用如下的高斯积分

同理可得

当且仅当

上式积分为1

在这种情况下，高斯是正态分布随机变量的概率密度函数，期望值μ=b，方差σ^2 = c^2

三、高斯函数分析

实际编程应用中，高斯函数中的参数有：

• ksize 高斯函数的大小
• sigma 高斯函数的方差
• center 高斯函数尖峰中心点坐标
• bias 高斯函数尖峰中心点的偏移量，用于控制截断高斯函数

已知方差决定了正态分布的胖瘦，方差越大，正态分布相对的胖而矮。这个理论适用于二维情况。通过在matlab中观察修改sigma后的图像，得到以下结论。

• 随着sigma的增大，方差增大，整个高斯函数的尖峰逐渐减小，整体也变的更加平缓，则对图像的平滑效果越来越明显，即图像会变得更模糊。
• sigma越大，则图形越宽，尖峰越小，图形较为平缓；sigma越小，则图形越窄，越集中，中间部分也就越尖，图形变化比较剧烈。这其实很好理解，如果sigma也就是标准差越大，则表示该密度分布一定比较分散，由于面积为1，于是尖峰部分减小，宽度越宽（分布越分散）；同理，当sigma越小时，说明密度分布较为集中，于是尖峰越尖，宽度越窄！
• sigma越大，分布越分散，各部分比重差别不大，于是生成的模板各元素值差别不大，类似于平均模板；sigma越小，分布越集中，中间部分所占比重远远高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值远远大于其他元素值，于是自然而然就相当于中间值得点运算。

高斯模板实际上也就是模拟高斯函数的特征，具有对称性并且数值由中心向四周不断减小，这个模板刚好符合这样的特性，并且非常简单 

 高斯模板是通过高斯函数计算出来的，公式如下：

常用的高斯模板有如下几种形式：

四、基于python

GaussianBlur（src，ksize，sigmaX [，dst [，sigmaY [，borderType]]]）-> dst

• src输入图像；图像可以具有任意数量的通道
• dst输出图像的大小和类型与src相同。
• ksize高斯内核大小。 ksize.width和ksize.height可以不同，但​​它们都必须为正数和奇数，也可以为零，然后根据sigma计算得出。
• sigmaX X方向上的高斯核标准偏差。
• sigmaY Y方向上的高斯核标准差；如果sigmaY为零，则将其设置为等于sigmaX；如果两个sigmas为零，则分别从ksize.width和ksize.height计算得出；为了完全控制结果，而不管将来可能对所有这些语义进行的修改，建议指定所有ksize，sigmaX和sigmaY。