矩阵连乘问题C++实现

1.认真审阅题目，明确题目的已知条件和求解的目标；

给定n个矩阵{A1,A2,A3……，An},其中Ai与Ai+1（i = 1,2 ,3,4……n-1）是可乘的，加括号的方法表示矩阵连乘的次序，不同加括号的方法所对应的计算次序是不同的。

2.问题建模

【例4-2】三个矩阵 A1 A2 A3 连乘，用加括号的方法表示其计算次序。

3个矩阵相乘，其加括号的方法一共有两种，具体如下：

【例4-3】4个矩阵连乘，用加括号的方法表示其计算次序。

4个矩阵连乘，其加括号的方法共有5种，具体如下：

不同加括号的方法所对应的计算量也是不同的，甚至差别很大。由于在矩阵相乘的过程中，仅涉及加法和乘法两种基本运算，乘法耗时远远大于加法耗时，故采用矩阵连乘所需乘法的次数来对不同计算次序的计算量进行衡量。

【例4-4】三个矩阵 A1 ,A2 ,A3 的行列分别为10×100、100×5、5×50，求例4-2中的两种加括号方法所需要乘法的次数。

两种加括号方法所需要乘法的次数分别为

那么，矩阵连乘问题就是对于给定n个连乘的矩阵，找出一种加括号的方法，使得矩阵连乘的计算量最小。

容易想到的解决方法是穷举法，即对n个矩阵连乘的每一种加括号方法进行乘法次数的统计，从中找出最小的计算量所对应的加括号方法。这种方法的复杂性取决于加括号的方法的种数。对于n个矩阵连乘，其加括号的方法有多少种呢？

考查矩阵连乘，不管哪种加括号的方法，最终都归结为两部分结果矩阵相乘，这两部分从n个连乘矩阵中的哪个矩阵处分开呢？设可能从A k 和A k+1 处将n个矩阵分成两部分，其中k=1,2,…,n-1。令P(n)代表n个矩阵连乘不同的计算次序，即不同加括号的方式，则n个矩阵连乘加括号的方式可通过两步操作来实现：①分别完成对两部分加括号；②对所得的结果加括号。由此

解此递推方程可得P(n)实际上是Catalan数，即P(n)=C(n-1)，其中 。故穷举法的复杂性非常高，是n的指数级函数，显然，该方法不可行。

3.算法设计；

采用自低向上的方法求解最优质的具体的求解步骤设计如下：
步骤1：确定合适的数据结构，采用二维数组m来存放各个子问题的最优值，二维数组来存放来存放各个子问题的最优策略，（如果s[i][j]=k，则最优加括号的 方法为(Ai……Ak）(Ak+1……，Aj)，一维数组P
步骤2:初始化。令m[i][j] = 0 ， s[i][j] = 0,其中 i = 1, 2, ……
步骤3：循环阶段
步骤3-1：按照递归关系式计算两个矩阵AiAi+1,相乘时的最优值，并将其存入m[i][i+1],同时将最优决策计入s[i][i+1]，i = 1, 2, ……
步骤3-2：按照递归关系式计算3个矩阵AiAi+1Ai+2相乘时的最优值并将其存入m[i][i+2]，同时最优决策计入s[1][i+2],i = 1, 2, ……, n – 2
以此类推
步骤3-(n-1):按照递归关系式计算n个矩阵A1，A2，……An相乘时的最优质的并将其存入m[1][n]，同时将最优决策计入s[1][n]
至此，m[1][n]即为原问题的最优值
步骤4：根据二维数组s记录的最优决策信息来构造最优解
步骤4-1：递归构造A1,……，As[1][n]的最优解，直到包含一个矩阵结束
步骤4-2：递归构造As[1][n]+1……An的最优解，直到包含一个矩阵结束
步骤4-3：将步骤4-1和步骤4-2递归的结果加括号

4.编码实现；

```cpp
#include 
using namespace std;
void MatrixChain(int *p, int n, int  * * m, int * * s)//用于求最优值
{
	//初始化 
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		m[i][i] = 0;
		s[i][i] = 0;
	}
	for(int r = 2; r <= n; r++){//不同规模的子问题 
		for(int i = 1; i <= n - r + 1; i++){//每一个规模为r的矩阵连乘序列的首矩阵Ai 
			int j = i + r - 1;//每个规模为r的矩阵连乘序列的尾矩阵为Aj
			m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1] * p[i]*p[j];//决策为k=i的乘法次数
			s[i][j] = i;
			for(int k = i + 1; k < j; k++){
				int  t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(t < m[i][j]){
					m[i][j] = t;
					s[i][j] = k;
				}
			} 
		}
		 
	} 
} 
void Traceback(int i, int j, int ** s){
	//s[i][j]记录了断开的位置，即计算A[i:j]的加括号方式为(A[i:s[i][j]]) * A [s[i][j] + 1: j])
	if(i == j) return;
	Traceback(i, s[i][j], s);//递归打印A[i:s[i][j]的加括号方式
	Traceback(s[i][j] + 1, j, s);//递归打印A[s[i][j]+1:j ]的加括号的方式
	cout << "A" << "[" << i << ":" << s[i][j] << "]" << "乘以" << "A""[" << (s[i][j] + 1) << ":" << j << "]"<< endl; 
}
int main(){
	
	
	return 0;
}

## 5.算法分析；

显然，语句int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p [i-1= * p[k]*p[j]为算法MatriChain的基本语句，最坏的情况下该语句的执行次数为O（n的三次方）故散发的最坏时间复杂度为O（n的三次方）
9.总结。