齐次、非齐次线性方程和特征值特征向量的联系及关系
参见线性代数:
1. 齐次、非齐次线性方程
1.1 aij 是方程组的系数，bi是常数项，如果bi不全为0，即为非齐次线性方程；如果bi全为0，即为线性方程；
a11*x1 + a12*x2 + ...+a1n*xn = b1;
a21*x1 + a22*x2 + ...+a2n*xn = b2;
.....
an1*x1 + an2*x2+ ... + ann*xn = bn
1.2线性相关和线性无关:
给定向量组 A：a1,…,ai 如果存在不全为零的数 k1,...,ki，使 k1 *a1 … + ki*ai = 0， 则称向量组 A 是线性相关的，否则k1...ki都为0，那么称它线性无关.
向量组的线性相关的充分必要条件： 两向量共线.三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.
向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组. 当方程组中 有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线 性无关（或线性独立）.
1.3对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使AB =BA=E, 则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵.如果矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵是惟一的.若矩阵A 可逆，则|A︳≠0.
1.4向量组 A：a1，a2，…，a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩 阵 A =（a1，a2，…，a m）的秩小于向量个数 m；向量组 A 线性无关的充分必要条件 是 R（A）= m.
2.向量的内积:
2.1.定义n维列向量， x, y;
[x, y]称为向量x,y的内积；[x,y] = xT * y = x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn.
2.2.向量的数量积
x . y = |x| * |y| * cos t = (x1, x2, x3) * （y1 * y2 * y3） = x1*y1 + x2*y2 + x3 *y3
2.3.有1和2看出内积是数量积的推广，但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长 度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角：
2.3.1. n维向量x长度或范数：||x|| = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。
2.3.2.由施瓦茨不等式，有 -1 <= [x,y] / ( ||x|| * ||y||) <= 1, ( ||x|| != 0 和 ||y|| != 0 ), t = arcos( [x,y] / (||x|| * ||y||) ), t是n维向量x，y的夹角。当[x,y] = 0, 称为向量x， y正交，是正交向量组。
2.3.3. 若 n 维向量 a1，a2，…，ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1， a2，…，ar线性无关。试求一个非零向量 a3，使 a1，a2，a3 两两正交：a3 应满足齐次线性方程 Ax = 0； A是(a1,a2)组成的向量的矩阵,x为a3向量.
2.3.4.如果 n 阶矩阵 A 满足,A T A = E （即 A - 1 = A T），那么称 A 为正交矩阵，简称正交阵.方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且 两两正交.
2.3.5.若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换. 设 y = Px 为正交变换，则有||y|| = sqrt(yT*y) = sqrt( xT*PT*P*x )= sqrt(xT*x) = ||x||, 由于 x ||表示向量的长度，相当于线段的长度，因此 || y || = || x || 说明经 正交变换线段长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这是正交变换的优 良特性.
3.方阵的特征值与特征向量
3.1.特征值和特征向量：
设 A 是 n 阶矩阵，如果数λ和 n 维非零列向量 x 使关系式：A*x = λ*x.成立，那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征 值λ的特征向量.也即 (A - λ*E)x = 0,
也即1.1中的n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组。它有非零解的充分必要条件是系数行列式|A -λE︳= 0.是以λ为未知数的一元 n 次方程，称为矩阵 A 的特征方程，其左端 ︳A -λE︳是λ的 n 次多项式，记作f（λ），称为矩阵 A 的特征多项式.显然，A 的特征值就是特征方程的解