【机器学习基石】VC dimension（七）

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写在前面

本节我们主要引入了 $VCdimension$ 的概念，从简单的感知机模型的 $VC$ 维度推到一般的感知机模型 $VC$ 维度，最后加深了对其理解。

本文整理自台湾大学林轩田的《机器学习基石》

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1. VC dimension 的定义

$\bullet$ 首先我们对上一次的内容进行一下回顾。

上一次我们证明了 $B(N,k)$ 存在上限的上限为 $N^{k-1}$。根据下面具体的表格内容显示，我们发现当 $N\ge 2，k\ge 3$ 时，完全可以写成（简化了等式）：
$$m_H(N)\le N^{k-1}$$

那么上一次提到的公式也可以进行转换，对于任意的 $g=A(D)\in H$ 并且数据样本 $D$ 足够大且 $k\ge 3$ 时，有：
$$P_D(\left|E_{in}(g)-E_{out}(g)\right|>ϵ)\le 4m_H(2N)e^{-\frac{1}{8}{ϵ}^{2}N}\le 4(2N{)}^{k-1}{e}^{-\frac{1}{8}{ϵ}^{2}N}$$

此时，$m_H(N)$ 存在 $breakpoint$，说明拥有好的 $hypothesis(H)$；$N$ 取足够大，说明拥有好的 $data(D)$；演算法 $A$ 中选择的 $g$ 具有小的 $E_{in}$，说明拥有好的 $A$；在具备了这些条件以后机器就可以进行学习了！

$\bullet$ $VCdimension$：它指的是不超过 $breakpoint$ 的最大的数（maximum）。记为 $d_{vc}$ 用公式表示就为：
$$d_{vc}{=}^{\prime }minimum{k}^{\prime }-1$$
当 $N\le d_{vc}$ 时，N个点都可以被区分开来。
当 $N>d_{vc}$ 时，N个点不可以可以被区分开来。最多区分 $k-1$ 个点。
所以当 $N\ge 2$，$d_{vc}\ge 2$ 时，$m_H(N)\le N^{d_{vc}}$。

对于我们前面提到的几种成长函数来说，它们都有各自的 $VCdimension$：

$▹$ $positiverays:d_{vc}=1$
$▹$ $positiveintervals:d_{vc}=2$
$▹$ $convexsets:d_{vc}=\infty$
$▹$ $2Dperceptrons:d_{vc}=3$

$\bullet$ 练习

这里有一组 $N$ 个点的输入，它们不能被 $H$ 完全区分，那么下面关于 $d_{vc}(H)$ 的哪个说法时正确的？

a. $d_{vc}(H)>N$
b. $d_{vc}(H)=N$
c. $d_{vc}(H)<N$
d. 不能给出结论

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可能有另外一组输入N个点可以被H完全区分，但是也有可能所有的输入N个点都不能被区分，所以只给一组输入的话，不能判断到底是哪一种情况。选d。

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2. 感知机的VC维度

前面我们重点学习了 $2Dperceptrons$ 模型的成长函数，知道它的 $breakpoint=4$，所以 $d_{vc}=3$，又由于 $1Dperceptrons$ 的 $d_{vc}=2$，所以我们推断 $dDperceptrons$ 的 $d_{vc}=d+1?$

为了验证这一结论，我们分别从 $d_{vc}\ge d+1$ 和 $d_{vc}\le d+1$ 两个方向进行验证。

$\bullet$ $d_{vc}\ge d+1$：这一结论等价于存在 $d+1$ 个点可以被完全区分。

在 $d$ 维空间里，我们将 $d+1$ 个点的坐标用矩阵的形式表示出来，注意还要为每一个点前面加一个维度，表示前面提到的阈值（详细见二）：
$$\begin{array}{ccccc}X& =& \left[\begin{array}{ccc}-& x_1^T& -\\ -& x_2^T& -\\ -& x_3^T& -\\ -& ...& -\\ -& x_{d+1}^T& -\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & \ddots & 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

很明显我们的 $X$ 矩阵是可逆的，接下来我们就要寻找是否存在 $w$ 可以被解出来，现在我们有生成的结果 $y$ 向量：
$$\begin{array}{ccc}y& =& \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ \cdots \\ y_{d+1}\end{array}\right]\end{array}$$

那么带入计算公式解得 $w$，得证：
$$sign(Xw)=y\Leftarrow (Xw)=y\iff w=X^{-1}y$$

$\bullet$ $d_{vc}\le d+1$：这一结论等价于最多只有d+1个点被区分。

在 $d$ 维度空间里面，对于任意的 $d+2$ 个点一定不会被完全区分，我们现在给出 X矩阵如下：
$$\begin{array}{ccc}X& =& \left[\begin{array}{ccc}-& x_1^T& -\\ -& x_2^T& -\\ -& \cdots & -\\ -& x_{d+1}^T& -\\ -& x_{d+2}^T& -\end{array}\right]\end{array}$$
在线代里面我们知道 $n+1$ 个 $n$ 维向量总是线性相关的，所以现在的矩阵 $X$ 也是线性相关的，那么我们就可以用前 $d+1$ 个列向量表示第$d+2$ 个列向量，如下：
$$x_{d+2}=a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_{d+1}{x}_{d+1}$$
我们假设 $a_i$ 与对应的 $w^T{x}_i$ 符号恰好相同，蓝色代表负数，红色代表正数，第一个数为负数，后面所有的数都有正数，那么给等式两边同时乘以 $w^T$，得到：
$$w^T{x}_{d+2}=a_1{w}^T{x}_1+a_2{w}^T{x}_2+...+a_{d+1}{w}^T{x}_{d+1}>0$$
所以存在这种情况使得d+2个点无法完全区分。

$\bullet$ 综上所述，对于 $d$ 维感知机来说，它的 $d_{vc}=d+1$。

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3. 直观的看待VC维度

对于假设里面存在的 $w=(w_0,w_1,...w_d)$，我们把 $w$ 看做是自由度（features），它可以进行任意的调节。

$VCDimension$ 是可以区分的最大点数，在大部分情况下，$features$ 与它相同。
$$d_{vc}\approx \#freeparameters(butnotalways)$$

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4. 对VC维度更深的解释

$\bullet$ 之前我们提到过了 $VCBound$ 函数，它计算的是出现 $BAD$ 情况的概率，公式如下：
$$P_D[\underset{BAD}{|E_{in}(g)-E_{out}(g)|>ϵ}]\le \underset{\delta }{4(2N{)}^{d_{vc}}{e}^{-\frac{1}{8}{ϵ}^{2}N}}$$

我们将这个出错概率记为 $\delta$，所以正确的概率就可以表示为 $1-\delta$，我们计算的也就是 $|E_{in}(g)-E_{out}(g)|\le ϵ$。那么现在进行求解，过程如下：
$$\begin{array}{ccc}\delta & =& 4(2N{)}^{d_{vc}}{e}^{-\frac{1}{8}{ϵ}^{2}N}\\ \frac{\delta }{4(2N{)}^{d_{vc}}}& =& e^{-\frac{1}{8}{ϵ}^{2}N}\\ ln(\frac{\delta }{4(2N{)}^{d_{vc}}})& =& -\frac{1}{8}{ϵ}^{2}N\\ \sqrt[]{\frac{8}{N}ln(\frac{\delta }{4(2N{)}^{d_{vc}}})}& =& ϵ\end{array}$$
得到 $ϵ$ 后，就可以进行推导得出 $E_{out}(g)$ 的范围：
$$E_{in}(g)-\sqrt[]{\frac{8}{N}ln(\frac{\delta }{4(2N{)}^{d_{vc}}})}\le E_{out}(g)\le E_{in}(g)+\sqrt[]{\frac{8}{N}ln(\frac{\delta }{4(2N{)}^{d_{vc}}})}$$

我们重点关注的是它的上界，将 $ϵ$ 也就是根号里面的内容记住 $\Omega (N,H,\delta )$（model complexity）。对于这一块可以进行作图：

那么我们为了选择较小的 $E_{out}(g)$ 就不能一昧的将 $d_{vc}$ 增大，最终要选择到一个均衡的位置。

$\bullet$ 接下来我们要关注的就是样本复杂度（Sample Complexity），因为我们之前选的上界一直都比较宽松，那么到了后它的误差就会大一点。根据理论求得最终如果想要好的结果，那么：
$$N\approx 10000d_{vc}$$
实际上，在平时根本用不到这么多的数据，比如说对于一条直线来说，我们选择二三十个点已经足够了，一般来说：
$$N\approx 10d_{vc}$$