【动态规划专项训练】0-1背包篇

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前言

⭐干翻动态规划问题

0-1背包问题描述及思路

问题模板
有 N 件物品和一个容量为 V 的背包，每件物品有各自的价值且只能被选择一次，要求在有限的背包容量下，装入的物品总价值最大。

「 0-1 背包」是较为简单的动态规划问题，也是其余背包问题的基础。

练几个题吧~！

装箱问题

装箱问题
题目描述：

思路：

因为每个物体，都有装与不装两种选择，所以我们得到状态转移方程：
f [ j ] =max(f [ j ], f [ j-w [ i ]] +w [ i ]);
f [ j ] 为：当总容量为 j 时，不放第 i 件物品，所能装的最大体积。
f [ j-w [ i ]] +w [ i ] 为：当总容量为 j 时，放了第 i 件物品后，所能装的最大体积。（即 j 减去第 i 件物品体积 的容量能装的最大体积+第 i 件物品的体积。 w [ i ] 为第 i 件物品体积）

AC代码及注释：

#include 
#include 
using namespace std;
int dp[20005]={0};
int main()
{
	int n,v;
	cin>>v>>n; //输入体积和物品数
	int volume;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>volume; // 物品体积
		for(int j=v;j>=volume;j--) //j为当前箱子的剩余体积，要比物体体积大才操作
		{
			//dp[j]为箱子剩余体积为j时所能装入的最大体积
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume]+volume); 
		}
	}
	cout<<v-dp[v]<<endl;
	return 0;
}

数字组合

题目描述：

思路：
可以转化为01背包问题求方案数： 将总和 M 看作背包容量； 将每个数 Ai 看作体积为 Ai的物品；
时间复杂度
背包问题的时间复杂度是 O(nm)
AC代码及注释：

#include
using namespace std;
const int N = 10007;
int f[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    f[0]=1;
    
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int v;
        cin>>v;
        for(int j=m;j>=v;j--)
        f[j]+=f[j-v];
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

采药

采药
题目描述：

思路：

同上题

AC代码及注释：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int m, n;
int f[N];

int main()
{
    cin >> m >> n;

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

开心的金明

开心的金明

题目描述：

思路：

f[j]表示前不超过 j 时的总收获
将原问题做如下转化
总钱数相当于背包总容量；
每件物品的价格相当于体积；
每件物品的价格乘以重要度相当于价值；

时间复杂度
01背包问题的时间复杂度是 O(nm)，其中 n是物品个数，m 是背包容量。

AC代码及注释：

#include
#include
using namespace std;
int w[30],v[30],f[50000];
//w数组为重要度，v数组为money，f是用来dp的数组
int n,m;//n是总物品个数，m是总钱数
int main()
{
    cin>>m>>n;//输入
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
        w[i]*=v[i];//w数组在这里意义变为总收获（重要度*钱）
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)//注意从m开始
        {
            if(j>=v[i])
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//dp
            }
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
} 

糖果

题目描述：

思路：

时间复杂度
01背包问题的时间复杂度是 O(nm)，

AC代码及注释：

#include
#include
using namespace std;
int w[30],v[30],f[50000];
//w数组为重要度，v数组为money，f是用来dp的数组
int n,m;//n是总物品个数，m是总钱数
int在这里插入图片描述
 main()
{
    cin>>m>>n;//输入
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
        w[i]*=v[i];//w数组在这里意义变为总收获（重要度*钱）
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)//注意从m开始
        {
            if(j>=v[i])
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//dp
            }
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
} 

最后