An Invitation to Algebraic Geometry



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仿射平面曲线是C^2中复多项式的零点集。
平面曲线的例子：
超曲面是C^n中任意维的单个多项式的零点集。
二次锥面（quadratic cone）是超曲面的典型例子。
线性（一次）多项式的零点集是叫做仿射超平面的仿射代数簇。
复变量的直线ax+by=c是C^2中的超平面。
【代数曲线部分的习题】
证明y^2=x^5(x-1)定义了一条有理曲线。并求有理多项式f(t),g(t)使得x=f(t),y=g(t)是它的有理参数化。（考虑代换y=x^3t）
求参数化x=t^2-1，y=t^3-t定义的有理曲线的方程。
计算椭圆曲线C_λ:y^2=x(x-1)(x-λ),λ≠0,1的J-不变量。并证明C_μ=C_λ当且仅当μ是下述6个数之一：λ,1-λ,1/λ,(λ-1)/λ,1/(1-λ),λ/(λ-1)
求出下述不可约曲线的奇点、奇点的重数及奇点处的切线方程：F=XY^4+YZ^4+XZ^4。
1.仿射代数簇
1.1定义和例子
1.2扎里斯基拓扑
扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对R^n或者C^n来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
The Zariski topology is defined algebraically on the spectrum of a ring or an algebraic variety. On R^n or C^n, the closed sets of the Zariski topology are the solution sets of systems of polynomial equations.
1.3仿射代数簇之间的态射(morphisms)
1.4维数
2.代数基础
2.1交换环论的快速回顾
2.2希尔伯特基定理
2.3希尔伯特零点定理
2.4坐标环
2.5代数和几何的等价性
2.6环的谱
3.投影簇
3.1投影空间
3.2投影簇
3.3仿射簇的投影闭包
3.4投影簇之间的态射
3.5投影空间的自同构（automorphisms）
4.拟投影簇
4.1拟投影簇
4.2扎里斯基拓扑的基
4.3正则函数
5古典构造
5.1韦罗内塞映射
5.2五点决定一条圆锥曲线
5.3塞格雷（C.Segre）映射和簇的乘积
5.4格拉斯曼流形（Grassmannians）
5.5次数（Degree）
5.6希尔伯特函数
6.光滑（Smoothness）
6.1在一点的切空间
6.2光滑点
6.3Smoothness in Families
6.4贝尔蒂尼定理
6.5高斯映射
7.双有理几何
7.1Resolution of Singularities
简单说，代数簇的奇点是那些不光滑的点，例如代数曲线的奇点有结点和尖点。奇点解消的问题是指通过双有理变换把奇点消去或者把复杂的奇点分解为简单的奇点。
奇点消解就是对于任意一个代数簇找出一个非奇异代数簇与其双有理等价。
7.2有理映射
7.3双有理等价
一个代数簇V_l到另一个代数簇V_2的映射称为双有理映射，如果它诱导V_l的有理函数域到V_2的有理函数域之间的同构。如果两个代数簇V_l与V_2分别有稠密开集U_l与U_2，可以建立起U_l与U_2之间的同构，则V_l与V_2是双有理等价的。这个等价于V_l与V_2的有理函数域同构。
我们可以先看代数曲面的情形，此时双有理等价的定义方式更加初等一些。
两个曲面S_1, S_2之间的一个有理映射φ：S_1→S_2是指从S_1的一个Zariski开集到S_2的一个态射。
如果φ有一个有理逆映射ψ：S_2→S_1，则它称为一个双有理映射，这时S_1和S_2称为双有理等价的。双有理等价是曲面的一个重要的等价关系。两个双有理等价的曲面具有相同的几何亏格、不规则性和Euler-Poincare特征标，但Chern数和Picard数不一定相同。
§3.6代数曲线（特别是椭圆曲线）的算术理论
代数几何考虑代数曲线，是把它们作双有理分类，不同亏格的代数曲线彼此不（双有理）等价。
当亏格>=1时，甚至同样亏格的代数曲线也有许多也有许多等价类。但是从数论观点，研究代数曲线在数域K（或者整体域包括函数域）上的解，则所有代数曲线只分成三大类。
第一类是有理曲线，即亏格为0的曲线，包括直线和二次曲线。定义在K上的有理曲线在K中或者无解，或者有无穷多个解。第二类是亏格>=2的曲线。1923年莫德尔猜想：有理数域Q上任何亏格>=2的代数曲线只有有限多个有理数解。1983年，Faltings对于任意整体域的情形证明了这个猜想。
第三类就是亏格为1的代数曲线，就叫作椭圆曲线。整体域上这种曲线可能有有限多解，也可能有无限多解。
Q上椭圆曲线E的典则方程为E:y^2=x^3+ax+b，△=4a^3+27b^2≠0。其中△叫曲线E的判别式，△≠0意味着三次多项式x^3+ax+b没有重根（在C中）。
考虑方程u^3+v^3=1。由
u=3x/y且v=(y-9)/y，
x=3u/(1-v)且y=9/(1-v)，
可知u^3+v^3=1与椭圆曲线y^2-9y=x^3-27双有理等价。
于是曲线u^3+v^3=1也是椭圆曲线，即亏格为1（一般地，可证u^n+v^n=1的亏格为(n-1)(n-2)/2）。欧拉证明了u^3+v^3=w^3只有平凡整数解，由此可知u^3+v^3=1只有两组有理数解(u,v)=(1,0),(0,1)。再由上述双有理变换，可知y^2-9y=x^3-27只有有理数解(x,y)=(3,9),(3,0)。由于(y-9/2)^2=y^2-9y+81/4=x^3-27+81/4=x^3-27/4，可知对椭圆曲线E:y^2=x^3-27/4，E(Q)={(3,±9/2),0}。从而E(Q)是三阶循环群。直接用加法公式也可证[2](3,9/2)=(3,9/2)(+)(3,9/2)=(3,-9/2)，从而[3](3,9/2)=(3,9/2)(+)(3,-9/2)=O。
7.4Blowing Up Along an Ideal
7.5超曲面
7.6分类问题
8.映射到投影空间
8.1在三维空间中嵌入光滑曲线
8.2向量丛和线丛
8.3向量丛的截面
8.4向量丛的例子
8.5线丛和有理映射
8.6非常丰富线丛（Very Ample Line Bundles）
A.层和抽象代数簇
A.1层
A.2抽象代数簇
符号索引
A^n：n维仿射空间
B_I(V)：blow up of V along the ideal I
B_p(V)：blow up of V at the point p
B_Y(V)：blow up of V along the subvariety Y
C：复数
C[V]：簇V的坐标环
C(V)：V的函数域----代数簇V上所有以代数式定义的所有函数全体形成一个函数域，称为V的有理函数域。它是基域的有限生成扩域。代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。代数簇V关于基域的维数可以定义为V的有理函数域在基域上的超越次数。
dF：F的微分
F_p：p元域
F^#：pull-back of a morphism F
({F_i})：由多项式F_i生成的理想
GL(n,C)：可逆n阶复方阵群
Gr(k,n)：格拉斯曼簇
Γ_F：有理映射F的图
I(V)：ideal of functions vanishing on V
sqrt(I)：理想I的根理想
在数学中的环论领域，一个理想的根是一个较大的理想，它约略是该理想的某种闭包。根理想是等於其自身的根的理想。理想的根又可分为雅各布森根与幂零根。
|L|：完全线性系
maxSpec(R)：环R的极大谱
m_g：亏格g的曲线的模空间
O_V：structure sheaf of V
Ω_X：余切丛截面的层
ω_X：cannoical line bundle
P^n：n维投影空间
~P^n：n维对偶投影空间
[a_0:…:a_n]：P^n中的点
PGL(n,C)：P^(n-1)的自同构群
R：实数
~R：sheaf associated to Spec(R)
R(U)：开集U上的层R的截面
X-->Y：从X到Y的有理映射
SecX：secant variety to X
SL(n,C)：行列式为1的n阶复方阵群
Spec(R)：环R的谱
∑_(m,n)：塞格雷映射
SingV：V的奇轨迹
TanX：X的正切簇
T_pV：V的在p点切空间
Θ_X：正切丛截面的层
U(n)：n阶酉方阵构成的酉群
~V：V的投影闭包
V({F_i})：多项式F_i的公共零点
v_d：次数为d的韦罗内塞映射
Z：整数
数学中的一些重要流形
能够“看到”的：欧氏空间R^n，球面S^n，二维紧流形
看不见但具有独特意义的流形：
1.实投影空间P^n或RP^n是一个n维紧流形：以商空间形式的表达式对P^n进行三种不同形式的等价定义
P^1{<}…{<}P^n
P^1=S^1
2.复投影空间CP^n是一个2n维紧流形，是一个复n维的复流形，因而是可定向紧流形。
CP^0={∞}为无穷远点
CP^1是黎曼球面S^2
CP^1{<}…{<}CP^n
3.典型Lie群
4.Stiefel流形V_k(E^n)是一个可定向紧流形
5.格拉斯曼流形G_k(E^n)定义为E^n中所有过原点的k维子空间集合，记为G_k(E^n)，是一个紧流形。
当E=R,C,H时，G_k(E^n)分别称为实的、复的和四元数的格拉斯曼流形。
dim G_k(R^n)=k(n-k)
dim G_k(C^n)=2k(n-k)
dim G_k(H^n)=4k(n-k)
G_k(E^n)=G_(n-k)(E^n)
G_1(R^(n+1))=P^n为实投影空间
G_1(C^(n+1))=CP^n为复投影空间
G_k(C^n)是一个复k(n-k)维的复流形，因此是可定向的。
6.透镜空间L^(2n+1)(k,Q)
陈省身《微分几何讲义》一书第七章复流形中的例子：
1.C_m是数组(c^1,…,c^m)所组成的复m维向量空间，是m维复流形，C_1就是高斯复平面。
2.复m维投影空间CP_m，其中的元素记作[z^0,z^1,…,z^m]，数组(z^0,z^1,…,z^m)称为点[z^0,z^1,…,z^m]的齐次坐标。
是m维复流形。黎曼球面CP_1同胚于高斯复平面的一点紧致化，即二维球面S^2。
3.代数簇或代数流形：由一组（q个）齐次多项式在CP_m中确定的轨迹称为代数簇。
例如，超二次曲面：(z^0)^2+…+(z^m)^2=0。周炜良的一个定理说：隐蔽在CP_m中的每一个紧致子流形必是一个代数簇。
在概念上，下面两个定理把紧黎曼曲面和平面曲线之间的关系表达得很清楚。
定理：任何紧黎曼曲面都可以全纯浸入CP^2，且其像集是一个平面曲线。
结论只能是浸入而不是嵌入。例如亏格为2的紧黎曼曲面不可能嵌入CP^2。 
定理：任何紧黎曼曲面可以全纯嵌入CP^3。
4.复m维复环面C_m/L
格L和向量空间C_m的加法群都是加群。
若复环面可以嵌入复投影空间作为非奇异子流形，即对于充分大的N，存在非退化的全纯映射f: C_m/L->CP_N，则称这个复环面是阿贝尔簇或阿贝尔流形。阿贝尔簇是代数几何和数论的一个重要分支。
5.复m维霍普夫流形S^(2m-1)×S^1
是最简单的非代数簇的复流形的例子。
6.二维定向曲面必有复流形构造，使他成为一维复流形（又称为黎曼曲面）。黎曼曲面是单复变函数论的基本研究对象。
所谓向量丛，粗略地讲就是在一个底空间M上每一点都安装了一个纤维V^k，它可形式地表达为E=∪[p∈M]V_p^k，∪表示不交并，这里V_p^k就是与点p∈M相关联的k维线性拓扑空间。当纤维V^k=R^k为实向量空间时，E称为实向量丛。当纤维V^k=C^k为复向量空间时，E称为复向量丛。----当纤维是q维复向量空间V时，所得的向量丛就是M上的复q维向量丛。这时，结构群是GL(V)=GL(q;C)。若全纯向量丛E的纤维是复一维向量空间，则称它是复流形M上的全纯线丛。
向量丛最简单的例子就是平凡丛，即某个底流形M与纤维V^k的乘积空间M×V^k。
我们能看见的向量丛只有几个：如R^n(n=2,3)，S^1×R^1和开莫比乌斯带，其中R^n(n=2,3)，S^1×R^1都是平凡丛，只有开莫比乌斯带是非平凡的，它是唯一我们能看见的非平凡丛。
一个好的拓扑不变量必须具备三个条件：（1）不平凡，（2）可计算，（3）使用的概念不能过于复杂。拓扑学中满足这三个条件并且具有普遍性的拓扑不变量就是同调群和同伦群。
代数拓扑起源于是庞加莱和贝蒂等人的工作，他们首先将空间与一系列群联系起来。庞加莱引入了拓扑空间的基本群，也就是今天的一维同伦群，而贝蒂第一个建立了同调群。同伦群的优点是概念简单，缺点是计算较难。而同调群则相反，计算比较容易但是概念相对而言要复杂和抽象一些。
轮胎面T^2和环面S^2的一维（下）同调群[同伦不变量]不同构：H_1(T^2)=R^2，H_1(S^2)=0，H_0(S^2,Z)=Z,1维整系数同调群H_1(S^2,Z)=0,H_2(S^2,Z)=Z,因此T^2与S^2不同胚。球面S^2的0维整系数同调群同构于整数加群Z;1维整系数同调群是0群;二维整系数同调群同构于整数加群Z。
（下）同调群是一个与线性空间加法群同构的群，零群0强抽象为零线性空间0。
1750年：二维多面体K的欧拉示性数χ(K)=r_0-r_1+r_2是一个同伦不变量。
它可推广到任意一个n维紧流形M上。
欧拉示性数χ(M)=0维单形个数r_0-1维单形个数r_1+2维单形个数r_2-3维单形个数r_3…n维单形个数r_n，即各维数单形个数的交错和。
欧拉-庞加莱公式：
欧拉示性数χ(M)=B_0-B_1+B_2-B_3…B_n，这里B_k=dimH_k(M,R)是M的k维贝蒂数。实系数同调群强抽象得到的实线性空间的维数是多少，就说同调群的秩(rank)是多少。把不同维实系数同调群的秩(rank)交错加减，即得到M的欧拉示性数。球面S^2的各维数实系数同调群的秩(rank)的交错和：χ(S^2)=1-0+1=2。
意大利代数几何学派的代表人物之一贝尔蒂尼（E.Bertini，1846-1933）将克雷莫纳变换用于曲线和曲面的简化奇点，给出射影平面所有对合变换的分类，成为该学派关于代数曲面分类理论研究的首批成果。韦罗内塞（Giuseppe Veronese，1854.5.7-1917.7.17）最先研究曲线或曲面映射到多维射影空间时的克雷莫纳变换。
韦罗内塞出生在威尼斯附近的一个小渔村。1872年，18岁的韦罗内塞辍学了。韦罗内塞很幸运，第二年又重新开始他的学业。1873年，韦罗内塞去苏黎世理工学院读书。 他与罗马大学的克雷莫纳开始通信。他接受了克雷莫纳的建议，来到罗马大学来完成他的本科学位。
代数簇Algebraic Varieties
仿射簇，射影簇，态射，有理映射，非奇异簇，射影空间的相交等有关代数簇的基本概念。复流形理论，向量丛理论，消失定理，嵌入定理，射影复流形与代数簇。
前期课程要求：交换代数，代数基础
教材及主要参考书目、文献与资料：
1. Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag.
代数群导论Introduction to algebraic groups
Chevalley群的结构理论---从复半单李代数到半单代数群，仿射簇，簇的维数，簇的切空间，仿射代数群与它们的李代数，B-N对理论，抛物子群与Borel子群，约化代数群的结构，半单代数群的分类理论，中心化子问题，半单代数群的幺幂簇，代数群在簇上的作用
前期课程要求：Lie代数，代数基础与交换代数
教材及主要参考书目、文献与资料：
[1] Steinberg：Lectures on Chevalley groups, Yale University
[2] Springer: Linear algebraic groups, Springer-Verlag
[3] Geck, An Introduction to Algebraic Geometry and Algebraic Groups, Oxford University.
有限阿贝尔覆盖及其应用 http://www.docin.com/p-468057022.html
美籍华人陈省身（S.S.Chern，1911.10.28-2004.12.3）的《复流形》，芝加哥大学讲义（1955-1956）
1.引言
2.调和形式Harmonic forms
3.复埃尔米特流形
4.凯勒流形
5.复投影空间的子流形
6.复环面和阿贝尔簇
7.可积近复结构
8.层Sheaves
9.The d''-cohomology
10.复线丛
11.格拉斯曼流形
12.联络
13.复向量丛的特征类
陈类是定义在复向量丛上的一组实系数上同调类。在复向量丛中，复流形上的切丛占有中心地位。为此有必要介绍一下复流形的概念。
当忽略复流形的复结构时，它就是一个实流形，叫做内在实流形。复流形的内在实流形都是可定向的。同样的，一个复向量丛它的内在实向量丛也是可定向的。
类似于实向量丛上可以定义一个欧几里得内积，在复向量丛上也可以定义一个埃尔米特内积。
定义：令(E,π,M)是流形M上的C^n丛，则下面上同调类C_i(E),1<=i<=n，C_j(E)=0,j>n定义为复向量丛的陈类。下面的形式和c(E)=1+c_1(E)+…+c_n(E)叫做总陈类。
E(C)是一个在流形M（不一定是复流形）上的复向量丛：C^n->E----π---->M
类似于Stiefel-Whitney数，在复流形的切空间上也可由陈类引入陈数的概念。
令M是一个紧复流形，其复维数为n，TM是M的切丛，它是一个C^n丛。
可定义一组数c_I(TM)称为指数为I的陈数。
对于切空间TM的顶陈类c_n(TM)，即TM的欧拉类e(TM)，c_n(TM)=e(TM)，由它产生的顶陈数等于M的欧拉示性数χ(M)。
14.埃尔米特向量丛中的调和形式
15.Todd亏格
16.代数簇的上同调
17.流形的特征
18.代数簇的黎曼-洛赫定理
网友“煙花不堪剪”对《复流形》一书的书评（ 2012-07-12 12:06:37）
本书作为陈先生的两次讲稿，由Springer编辑成书，并隶属Universitext系列。许多人期望看到的是像GTM 65那样的复流形入门教材，而此书的内容与风格和那些传统入门书大相径庭，这就使那些低端读者失望了。
　　熟悉陈先生写作风格的人都知道，陈先生的数学十分朴实，许多观念弃用现代术语而用原始的观点加以解释，这使他看起来不够polished。可是陈先生作为伟大的几何学家拥有无以伦比的计算能力，从而能够用强大的内功弥补这一切。陈先生一贯的风格和他的教育背景和时代背景有关，尤其是他是从射影微分几何进入整个几何学的。
　　本书实际上主要是概括总结陈先生自己的工作。这些工作的中心是超度的观念，以此发展出了高维的Gauss-Bonnet公式和陈类。将超度进一步发展为复超度，则可以得出全纯向量丛截面的弱等分布。陈先生将弱等分布解释为用纤维丛的拓扑不变量来描述纤维丛截面的零点。显然，这个解释联系着紧致情形下的Poincare-Hopf指标定理，从而高维的Nevanlinna理论定型为研究非紧的复流形到紧复流形之间的全纯映射。在紧复流形是射影簇的情形，这个理论被Carlson-Griffiths推广了，并且他们证明了定量的强等分布。陈先生对Nevanlinna理论的解释由于涉及到全纯向量丛的截面，因此陈形式的位势表示在这里是至关重要的，作为位势表示的推广，就是Bott-Chern所证明的复超度定理，由此他们定义出Bott-Chern cohomology，这在Arakelov理论中被用到，不过是以另一种面目全非的代数处理出现的。陈先生对于陈类位势表示的应用以及对于向量丛positivity的考虑，实际上对Carlson-Griffiths的工作有深刻的影响。因为位势表示在结合了current的观念之后，能够得出Poincare-Lelong公式的推广，从而导致了Griffiths去考虑射影簇的典范丛并且构造了适当的Ricci形式。Bott-Chern的工作做的不彻底，主要原因是他们没有注意到在他们工作的前一年Lelong发表的关于current的工作。Nevanlinna理论被陈先生解释为局部化在某种意义下的推广，而局部化本身也依赖于超度的观念。陈先生对于Gauss-Bonnet公式的证明同时证明了Gauss-Bonnet公式和Poincare-Hopf公式的等价性，这种等价性实际上是Chern-Weil理论和局部化对偶性的一个简单例子。超度的观念应用到三维流形给出所谓Chern-Simons invariants，这在低维拓扑和物理上的作用是众所周知的。
　　许多人觉得这本书太简单，因为没有提到复几何上任何一个主要的定理，并且就此判断这本书不是好的入门书。实际上，从上面的分析可以看到，这本书原本就不是为了讲复几何，而是为了讲怎样把复几何作为微分几何来研究。对于陈先生来说，就是把超度推广为复超度。事实上，我曾经讲过，纤维丛有两个主要的作用，其一是用来决定底流形的拓扑，其二就是超度。陈先生把握住了超度的观念，从而一生做了无数成功的工作，从这个意义上说，这本小书尽管不全面，却是极富阅读价值的。陈先生在很多地方强调理论的原始观念，这对作者来讲是极为难得的。典型的例子就是他对于陈类的讲述，很大程度上是按照自己的原始论文来进行的。他的原始工作要考虑Grassmann流形的拓扑，因为这是复向量丛的classifying space。然后他对于Schubert varieties用非常简单的方式定义了universal Chern class，然后再拉回到复流形上。由于Schubert varieties上的积分给出了同调和上同调之间最自然的对偶，由de Rham isomorphism当然要考虑陈类的微分形式表示，这就得到了现在的定义。这种强调原始观念的写作方式，其价值无论如何强调都不为过。