数学建模常用算法—迪杰斯特拉算法求最短路径(Dijkstra)
解决问题
迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
优点
- 原理简单
- MATLAB有现成函数
- 算法时间复杂度低
缺点
在单源最短路径问题的某些实例中，可能存在权为负的边，这时不能采用迪杰斯特拉算法，而应采用贝尔曼‐福特(Bellman‐Ford)算法。
算法原理
这个链接里有迪杰斯特算法(Dijkstra)和弗洛伊德算法(Floyd)的动画演示，前五分钟是迪杰斯特算法(Dijkstra)的动画演示，能够帮助读者直观地了解算法原理。
https://www.bilibili.com/video/av54668527
遍历完所有节点后我们得到以上表格，从目标点开始，一步一步寻找它的父节点，即可找出图论的最短路径。以0节点到4节点为例，4节点的父节点为5节点，5节点的父节点为2节点，以此类推，我们得到它的最短路径为：
0→1→7→8→2→5→4
最短路径长度为：24
注意事项
前面提到，迪杰斯特拉算法可以用于有向图，但不能处理负权重。贝尔曼‐福特算法(Bellman‐Ford)可以处理带有负权重的有向图，但不能处理含有负权回路的图。
MATLAB算法实现
以下图为例
1. MATLAB作图
%% Matlab作无向图
% （1）无权重（每条边的权重默认为1）
% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图
% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组。
s1 = [1,2,3,4];
t1 = [2,3,1,1];
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)
% 注意哦，编号最好是从1开始连续编号，不要自己随便定义编号
s1 = [1,2,3,4];
t1 = [2,3,1,1];
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)
% 注意字符串元胞数组是用大括号包起来的哦
s2 = {'学校','电影院','网吧','酒店'};
t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};
G2 = graph(s2, t2);
plot(G2, 'linewidth', 2) % 设置线的宽度
% 下面的命令是在画图后不显示坐标
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
% （2）有权重
% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图
s = [1,2,3,4];
t = [2,3,1,1];
w = [3,8,9,2];
G = graph(s, t, w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
%% Matlab作有向图
% 无权图 digraph(s,t)
s = [1,2,3,4,1];
t = [2,3,1,1,4];
G = digraph(s, t);
plot(G)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
% 有权图 digraph(s,t,w)
s = [1,2,3,4];
t = [2,3,1,1];
w = [3,8,9,2];
G = digraph(s, t, w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
用MATLAB实现案例中的图
% 注意哦，Matlab中的图节点要从1开始编号，所以这里把0全部改为了9
% 编号最好是从1开始连续编号，不要自己随便定义编号
s = [9 9 1 1 2 2 2 7 7 6 6 5 5 4];
t = [1 7 7 2 8 3 5 8 6 8 5 3 4 3];
w = [4 8 3 8 2 7 4 1 6 6 2 14 10 9];
G = graph(s,t,w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2)
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
2. MATLAB计算最短路径
在以上案例中
[P,d] = shortestpath(G, 9, 4) %注意：该函数matlab2015b之后才有哦
3. 高亮最短路径
myplot = plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2); %首先将图赋给一个变量
highlight(myplot, P, 'EdgeColor', 'r') %对这个变量即我们刚刚绘制的图形进行高亮处理（给边加上r红色）
4. 其他
- 我们可以通过以下函数返回任意两点的距离矩阵
- 我们可以通过以下函数找给定范围内所有点
最后
放入数学建模论文中的图论图不建议用MATLAB绘制出来的，建议采用以下网站绘制：https://csacademy.com/app/graph_editor/
