比较横截面与时间序列的因子模型
发表于2020年Review of Financial Studies上的"Comparing cross-section and time-series factor models"一文，作者是2013年诺贝尔经济学奖得主、芝加哥大学Booth商学院的Eugene F. Fama，和他的老搭档、达特茅斯学院Amos Tuck商学院的Kenneth R. French，这也是二位的最新一次合作。
该文十分简单，且为纯实证，本文对其关键部分作个剖析。
在下文中，用CS（Cross-Section）表示“横截面”一词，用TS（Time-Series）表示“时间序列”一词。
1 实证模型
在因子模型中，资产的收益率应由资产在因子上的载荷，乘上因子收益率构成。有了因子收益率，就可以回归得到因子载荷，而有了载荷，也可以回归得到因子收益率，到底应该用哪种方式呢？该文共比较了4种模型。
第一个模型，使用Fama和MacBeth（1973）的CS回归方法，直接用公司特征作为载荷，用CS回归，得到的系数就是因子收益率：
R i t = R z t + R M C t M C i t − 1 + R B M t B M i t − 1 + R O P t O P i t − 1 + R I N V t I N V i t − 1 + e i t (1) \begin{aligned} R_{it}=&R_{zt}+R_{MCt}MC_{it-1}+R_{BMt}BM_{it-1}\\ &+R_{OPt}OP_{it-1}+R_{INVt}INV_{it-1}+e_{it} \tag{1} \end{aligned} Rit=Rzt+RMCtMCit−1+RBMtBMit−1+ROPtOPit−1+RINVtINVit−1+eit(1)
这样得出的因子，称为CS因子。
然后，将截距项移到左边，将自变量与系数交换位置，就成了一个资产定价模型：
R i t − R z t = M C i t − 1 R M C t + B M i t − 1 R B M t + O P i t − 1 R O P t + I N V i t − 1 R I N V t + e i t (2) \begin{aligned} R_{it}-R_{zt}=&MC_{it-1}R_{MCt}+BM_{it-1}R_{BMt}\\ &+OP_{it-1}R_{OPt}+INV_{it-1}R_{INVt}+e_{it} \tag{2} \end{aligned} Rit−Rzt=MCit−1RMCt+BMit−1RBMt+OPit−1ROPt+INVit−1RINVt+eit(2)
第二个模型，就是先通过Fama和French（2015）中构造的TS因子的方法，即用多空组合的方式，构造出因子的收益率序列，然后，再以TS因子收益率为自变量，进行TS回归，得到的系数就是载荷：
R i t − R f t = a i + b i ( R m t − R f t ) + s i S M B t + h i H M L t + r i R M W t + c i C M A t + e i t (3) \begin{aligned} R_{it}-R_{ft}=&a_i+b_i(R_{mt}-R_{ft})+s_i {SMB}_t+ h_i HML_t \\ &+r_i RMW_t + c_i CMA_t+e_{it} \tag{3} \end{aligned} Rit−Rft=ai+bi(Rmt−Rft)+siSMBt+hiHMLt+riRMWt+ciCMAt+eit(3)
第三个模型，用（1）中得出的CS因子，替换（3）中的TS因子，同样进行TS回归，得到载荷：
R t − R f t = a i + b 1 i ( R m t − R f t ) + b 2 i R M C t + b 3 i R B M t + b 4 i R O P t + b 5 i R I N V t + e i t (4) \begin{aligned} R_t-R_{ft}=&a_i+b_{1i}(R_{mt}-R_{ft})+b_{2i} R_{MCt}+ b_{3i} R_{BMt}\\ &+b_{4i} R_{OPt} + b_{5i} R_{INVt} +e_{it} \tag{4} \end{aligned} Rt−Rft=ai+b1i(Rmt−Rft)+b2iRMCt+b3iRBMt+b4iROPt+b5iRINVt+eit(4)
（3）与（4）得到的载荷都不是时变的，为了引入时变载荷，可以在系数中加入时变的CS因子，即加入交叉项：
R i t − R f t = a i + b i ( R m t − R f t ) + s i S M B t + h i H M L t + r i R M W t + c i C M A t + s i 2 M C i t − 1 S M B t + h i 2 B M i t − 1 H M L t + r i 2 O P i t − 1 R M W t + c i 2 I N V i t − 1 C M A t + e i t (5) \begin{aligned} R_{it}-R_{ft}=&a_i+b_i(R_{mt}-R_{ft})+s_i {SMB}_t+ h_i HML_t \\ &+r_i RMW_t + c_i CMA_t\\ &+s_{i2}MC_{it-1}{SMB}_t+h_{i2}BM_{it-1}HML_t\\ &+r_{i2}OP_{it-1} RMW_t + c_{i2} INV_{it-1} CMA_t+e_{it} \tag{5} \end{aligned} Rit−Rft=ai+bi(Rmt−Rft)+siSMBt+hiHMLt+riRMWt+ciCMAt+si2MCit−1SMBt+hi2BMit−1HMLt+ri2OPit−1RMWt+ci2INVit−1CMAt+eit(5)
（2）（3）（4）（5）组成了要检验的4个模型。
2 数据
2.1 因子构建
对于FF（2015）的五因子模型即方程（3），在每个6月底生成一次规模SMB、价值HML、盈利RMW、投资CMA的TS因子。
HML（High Minus Low）因子：用NYSE的6月底的中位数MC（市值）作为断点，将NYSE、AMEX、NASDQA的所有股票分入高/低市值组；再独立地用NYSE股票的BM的 3 0 t h 30^{th} 30th和 7 0 t h 70^{th} 70th分位数作为断点，分成3组。 T T T年6月的BM，就是 T − 1 T-1 T−1年财年末的账面净值与 T − 1 T-1 T−1年12月底市值（在12月到财年末，若在外发行股票数可能有变化，则需要调整）的比率，再取对数。这样就可以得到 2 × 3 2\times 3 2×3个市值加权（VW，value-weight）组合。HML是大市值分组中的高低BM组合收益率之差，与小市值分组中的高低BM组合收益率之差，取平均数。
RMW（Robust Minus Weak）、CMA（Conservative Minus Aggressive）因子：做法与HML类似，生成RMW时用OP（Operating profitbality），生成CMA时用INV（Investment）。
SMB（Small Minus Big）因子：前面一共得到3个 2 × 3 2\times 3 2×3组合，用其中的9个小市值组合的平均收益率减去剩下的9个大市值组合的平均收益率，即为SMB因子。
UMD（Up Minus Down）因子：先用从 t − 12 t-12 t−12月到 t − 2 t-2 t−2月的累计收益率除以11，作为MOM，再用MOM作为第二个因子构造 2 × 3 2\times 3 2×3组合，得到UMD因子，它是月度更新的。
MC、BM、OP、INV、MOM等公司特征：就是构造以上因子所用到的公司特征。个股的BM、OP、INV在每年6月更新，MC和MOM在每个月更新。组合的特征就是组合中股票的VW平均值，权重（市值）每个月更新。
构造CS因子，每个月进行（1）式回归，对每个RHS的公司特征做z-score处理，在不加入MOM时用18个组合做标准化，在加入MOM时用24个组合做标准化。在做标准化之后，CS水平收益率 R z t R_{zt} Rzt就是18或24个LHS资产收益率的等权重均值。
构建因子的LHS资产：为使CS和TS因子可比，月度回归（1）式的左侧资产选择18个生成了SMB、HML、RMW、CMA的VW组合。如果模型中要用到CS动量因子，也加入生成UMD的6个VW组合。
2.2 描述性统计
表1为上述因子的描述性统计，Panel A为TS因子，Panel B为CS因子。样本区间为1963.7–2018.8，共662个月度收益率。
我们知道OLS回归得到的系数为 β ^ = ( X ′ X ) − 1 X ′ y \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y β^=(X′X)−1X′y，也就是 y y y的线性组合。那么（1）式中系数就是 R z t R_{zt} Rzt和CS因子的收益率，也就是说，它们其实是由LHS资产的收益率线性组合出来的。那么，组成它们的，不同的LHS资产的权重是多少呢？表2列出了结果。
2.3 用于测试的LHS资产
在实证中，用于检验的LHS资产使用每年6月更新的MC和BM、OP、INV的 3 3 3组 5 × 5 5\times 5 5×5组合，再加上月度更新的MC和MOM的 5 × 5 5\times 5 5×5组合。注意，用于生成因子的LHS资产还是以前的 2 × 3 2\times 3 2×3组合，但用于检验的是 5 × 5 5\times 5 5×5组合。
为增加一些挑战性，再在LHS中加入FF（2016）的异象组合：
- 长期困扰CAPM的单变量市场beta与平均收益率的扁平关系（flat relation）；
- 股票回购后的高平均收益率，与股票发行后的低平均收益率；
- 应计利润大的公司，平均收益率较低；
- 日收益率方差大的公司，平均收益率较低。
同样使用MC和这些异象变量的NYSE的5分位数，构造 5 × 5 5\times 5 5×5组合。但这里有几个例外：一是股票净发行（NI，Net share Issue）需要用7分位数，即净回购、无回购无发行，以及净发行的5分位数；二是大市值股票中几乎没有高收益率波动的，因此不适合使用独立双重排序，只能在MC排序后的基础上再进行排序。
MC-VAR组合是月度更新的，而其他异象组合都在每年6月底更新。
3 模型比较标准
该文用了多种模型比较标准。在这里用 A A A和 V V V表示横截面的均值方差， a a a表示模型产生的截距向量，比较标准有：
- A ∣ a ∣ A|a| A∣a∣：截距项绝对值的均值；
- A ∣ t ( a ) ∣ A|t(a)| A∣t(a)∣：截距项的 t t t值的绝对值的均值；
- A a 2 V r ˉ \dfrac{A a^2}{V \bar r} VrˉAa2：和下面一个一样，都是度量截面的分散程度，分子为截距平方的均值， V r ˉ {V \bar r} Vrˉ为LHS资产的平均收益率的截面方差；
- A λ 2 V r ˉ \dfrac{A \lambda^2}{V \bar r} VrˉAλ2：修正截距的平方为 λ 2 ≡ a 2 − s 2 ( a ) \lambda^2 \equiv a^2-s^2(a) λ2≡a2−s2(a)，这是因为在估计截距时有噪声；
- A R 2 AR^2 AR2：回归 R 2 R^2 R2的均值；
- A s ( a ) As(a) As(a)：截距标准误的均值；
- A s ( e ) As(e) As(e)：残差标准差的均值；
- S h 2 ( a ) Sh^2(a) Sh2(a)：截距的最大平方夏普比率，用 Σ \Sigma Σ表示回归残差的协方差矩阵，则 S h 2 ( a ) = a ′ Σ a Sh^2(a)=a'\Sigma a Sh2(a)=a′Σa；
- G R S GRS GRS：GRS统计量；
- p ( G R S ) p(GRS) p(GRS)：GRS统计量的p值；
- T 2 T^2 T2：Hotelling’s T 2 T^2 T2；
- p ( T 2 ) p(T^2) p(T2)：Hotelling’s T 2 T^2 T2的 p p p值。
4 实证结果
4.1 总体结果
实证结果在表3中，其中Panel A1和Panel A2检验了模型（3）、（4），Panel A3、Panel A4检验了模型（5）。
在检验模型（3）、（4）、（5）时，都是用TS回归，然后将各资产回归得到的截距项放在一起，形成向量 a a a。但由于模型（2）是从CS回归中变化而来，可以不再做TS回归。Panel B1和Panel B2是使用CS因子对测试LHS资产相对 R z t R_{zt} Rzt的超额收益率做回归的情况，而Panel B3–B6则不再做TS回归。
在Panel B5和Panel B6中，模型（2）中的 R z R_z Rz和CS因子是用（1）式由不同 2 × 3 2\times 3 2×3组合生成的，接着，用每个LHS测试资产的公司特征做加权平均，用生成CS因子时的18个或24个组合的均值和标准差对它做标准化，最后的值作为LHS测试资产的因子载荷，再乘上事先得到的CS因子的收益率，去预测LHS测试资产的相对 R z t R_{zt} Rzt的超额收益率，从而得到每个LHS资产在每个月的预测误差。在Panel B3和Panel B4中，用特征的时间序列均值作为CS因子的载荷。在这4个Panel中，载荷不是被估计出来的，因此GRS检验不适用，只能用Hotelling’s T 2 T^2 T2检验。
在每一个评价标准上，Panel B5、B6的结果都比Panel A好。
4.2 去除异象组合后的结果
表4就是在表3的LHS测试资产中剔除了异象组合后的结果，它使用的LHS资产是4组 5 × 5 5\times 5 5×5组合，即MC-BM、MC-OP、MC-INV、MC-MOM组合。
在原文的附录中，表A1-A4报告了每个 5 × 5 5\times 5 5×5组合的结果。
4.3 在异象组合中的结果
表5是只在110个异象组合中的结果。
在原文的附录中，表A5-A8报告了每种异象组合的结果。
可以看到，不管用什么作为LHS测试资产，模型（2）结果都是最好的，结论稳健。
参考文献
- Fama, E. F., and K. R. French. 2015. A five-factor asset pricing model. Journal of Financial Economics.
- Fama, E. F., and K. R. French. 2020. Comparing Cross-Section and Time-Series Factor Models. Review of Financial Studies.
- Fama, E. F., and J. D. MacBeth. 1973. Risk, return, and equilibrium: empirical tests. Journal of Political Economy.