【矩阵论】4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆

4.4 加号逆

4.4.1 定义

若 $m\times n$ 矩阵 $A=A_{m\times n}$ 与矩阵 $X=X_{n\times m}$ 满足四个条件

• $AXA=A$
• $XAX=X$
• $(AX{)}^H=AX$
• $(XA{)}^H=XA$

则 $X$ 为 $A$ 的加号逆，记为 $X=A^{+}$

a. 性质

• A与 $A^{+}$ 互为加号逆

• $A^{+}$ 具有唯一性
  $$\begin{array}{rl}& 证明：(反证法)\\ & 假设X，Y都满足四个条件,有AXA=A,XAX=X,(AX{)}^H=AX,(AY{)}^H=AY,\\ & AYA=A,YAY=Y,(AY{)}^H=AY,(YA{)}^H=YA\\ & 有X=XAX\stackrel{A=AYA(替换右侧X)}{}XAYAX=X(AY{)}^H(AX{)}^H=X[(AX)(AY){]}^H\\ & \stackrel{AXA=A}{}X(AY{)}^H=XAY\stackrel{AYA=A(消去左侧X)}{}XAYAY=(XA{)}^H(YA{)}^{H}Y=\\ & [(YA)(XA){]}^{H}A=(YA{)}^{H}Y=Y\\ & 故可得A^{+}具有唯一性\end{array}$$

• $A^{+}$ 的H穿脱公式：$(A^H{)}^{+}=(A^{+}{)}^H$

• 乘积的加号逆无穿脱公式：$(AB{)}^{+}\ne B^{+}{A}^{+}$

• 幂等性

  $(A^{+}A{)}^2=A^{+}A,(A{A}^{+}{)}^2=A{A}^{+}$

  $(I-A^{+}A{)}^2=I-A^{+}A$

  • $r(I-A^{+}A)=n-r(A^{+}A)=n-r(A)$

  • $r(I-A{A}^{+})=r(A)$

b. 加号逆特例

• $A=0$ ，则 $A^{+}=0$

• 若方阵 $A=A_{n\times n}$ 可逆 ($|A|\ne 0$) ，则 $A^{+}=A^{-1}$

• 若 $A=(a)$ 为1阶阵，即 $A=(复数a)$ ，则有 $(a{)}^{+}=a^{+}=\{\begin{array}{rl}{a}^{-1},& a\ne 0\\ 0,& a=0\end{array}$

• 对角阵 D = ( a 1 a 2 ⋱ a n ) D=\left(\begin{matrix}a_1&&&\\&a_2&&\\&&\ddots\\&&&a_n\end{matrix}\right) D= ​a1​​a2​​⋱​an​​ ​ ，则 D + = ( a 1 + a 2 + ⋱ a n + ) D^+=\left(\begin{matrix}a_1^+&&&\\&a_2^+&&\\&&\ddots\\&&&a_n^+\end{matrix}\right) D+= ​a1+​​a2+​​⋱​an+​​ ​

  eg：

  

  $D^{+}D=D{D}^{+}$ ，且 $(D^{+}{)}^k=(D^k{)}^{+}$ ，(k=1,2,…)

  证明：

  

• A为Hermite幂等阵，即 $A^H=A=A^2$ ，则 $A^{+}=A=A^H$

• 若A为列优阵($A^{H}A=I$) ，则 $A^{+}=A^H$
  $$\begin{array}{rl}& 证明:由于A是列半U阵，则A^{H}A=I\\ & A^{H}A{A}^H=A^H,A{A}^{H}A=A,(A^{H}A{)}^H=I=A^{H}A,(A{A}^H{)}^H=A{A}^H\end{array}$$

  若 $A^H$ 为列优阵(A为行优阵)($A{A}^H=I$) ，则 $A^{+}=A^H$

  $$\begin{array}{rl}& 证明:由于A是行半U阵，则A{A}^H=I\\ & A^{H}A{A}^H=A^H,A{A}^{H}A=A,(A^{H}A{)}^H=A^{H}A,(A{A}^H{)}^H=I=A{A}^H\end{array}$$

• 若A为U阵(单位正交阵)，则 $A^{+}=A^H=A^{-1}$

  若A为U阵，则 $A^{H}A=A{A}^H=I,A^H=A^{-1}$

  $A^{H}A{A}^H=A^H,A{A}^{H}A=A,(A{A}^H{)}^H=I=A{A}^H,(A^{H}A{)}^H=A^{H}A$ ，故 $A^{+}=A^H$

• 若A为单阵(可相似对角化)且可逆 ，则有谱分解 $A={\lambda }_1{G}_1+\cdots +{\lambda }_k{G}_k$ 且 $A^{+}={\lambda }_1^{-1}{G}_1+\cdots +{\lambda }_k^{-1}{G}_k$

  若不满足可逆条件，则未必成立

• 若A为正规阵(正规方阵)，则 $A^{+}$ 也为正规阵

  有正规分解 $A=QD{Q}^H$ ，则 $A^{+}=Q{D}^{+}{Q}^H$

  有谱分解 $A={\lambda }_1^{+}{G}_1+\cdots +{\lambda }_k^{+}{G}_k$

c. $A{A}^{+}$ 与 $A^{+}A$ 相关结论

• $A{A}^{+}$ 与 $A^{+}A$ 都是Hermite阵

• $r(A^{+}A)=r(A{A}^{+})=r(A)=tr(A{A}^{+})=tr(A^{+}A)$

  由于矩阵的秩越乘越小，则 $r(A{A}^{+})\le r(A)$ 而 $A=A{A}^{+}A$ ，则 $r(A)\le r(A{A}^{+})$ ，故有 $r(A{A}^{+})\le r(A)\le r(A{A}^{+})$

• 幂等性：$(A{A}^{+}{)}^2=A{A}^{+}$ ，$(A^{+}A{)}^2=A^{+}A$

  
  

$$\begin{array}{rl}& (1)A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)为可逆阵，则A^{+}=A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\\ & (2)(3)(4)中A为对角阵\end{array}$$

• $\lambda (A{A}^{+})$ 与 $\lambda (A^{+}A)$ 都有 $r(A)$ 个1

  设 $A\in C^{m,n},A^{+}\in C^{n,m}$ 由于 $A{A}^{+}$ 与 $A^{+}A$ 都是 Hermite 阵，且 $A^{+}A$ 是幂等阵， $(A{A}^{+}{)}^2=A{A}^{+},(A^{+}A{)}^2=A^{+}A$ ，由Caley定理 $x^2=x$ 则其0化式为 $x^2-x=0$ ，$A{A}^{+}$ 有两个不同的根1和0

  已知 $r(A^{+}A)=r(A{A}^{+})=r(A)=r$ ，

  则 $A{A}^{+}$ 有r个正根，m-r 个0根;$A^{+}A$ 有r个正根，n-r 个0根

• $A^{+}A$ 与 $A{A}^{+}$ 都是半正定阵 ($A{A}^{+}\ge 0,A^{+}A\ge 0$)

  已知 $A^{+}A$ 为幂等阵，则 $(A{A}^{+}{)}^2=(A{A}^{+}{)}^H(A{A}^{+})\stackrel{P=A{A}^{+}}{}{P}^{H}P\ge 0$ ，故 $A{A}^{+}$ 为半正定阵，同理 $AA+$ 为半正定阵

  由Caley定理，$x^2=x$ ，则0化式 $x(x-1)=0$ ，故特根 $\ge$ 0 ，为半正定阵

• 一般有 $A{A}^{+}\ne I$ , $A^{+}A\ne I$ , 且 $A{A}^{+}\ne A^{+}A$

• 若 A 为正规阵，则 $A^{+}A=A{A}^{+}$ ，且 $(A^{+}{)}^k=(A^k{)}^{+},k=0,1,2,\cdots$
  由于 A 是正规阵，则 A A H = A H A , A 有正规分解 A = Q D Q H = Q ( λ 1 ⋱ λ n ) Q H , 其中 Q 为 U 阵 ⇒ A + = ( Q D Q H ) + = ( Q H ) + D + Q + = Q + = Q H Q D + Q H , ⇒ ( A + ) k = ( Q D + Q H ) k = Q ( D + ) k Q H = Q ( D k ) + Q H = ( A k ) + 且 A + A = ( Q D + Q H ) Q D Q H = ( Q D + D Q H ) = Q D D + Q H = ( Q D Q H ) ( Q D + Q H ) = A A + \begin{aligned} &由于A是正规阵，则AA^H=A^HA,A有正规分解A=QDQ^H=Q\left( \begin{matrix} \lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n \end{matrix} \right)Q^H,\\ &其中Q为U阵 \\ &\Rightarrow A^+=(QDQ^H)^+=(Q^H)^+D^+Q^+\xlongequal{Q^+=Q^H}QD^+Q^H,\\ &\Rightarrow (A^+)^k=(QD^+Q^H)^k=Q(D^+)^kQ^H=Q(D^k)^+Q^H=(A^k)^+\\ &且A^+A=(QD^+Q^H)QDQ^H=(QD^+DQ^H)=QDD^+Q^H=(QDQ^H)(QD^+Q^H)=AA^+ \end{aligned} ​由于A是正规阵，则AAH=AHA,A有正规分解A=QDQH=Q ​λ1​​⋱​λn​​ ​QH,其中Q为U阵⇒A+=(QDQH)+=(QH)+D+Q+Q+=QH QD+QH,⇒(A+)k=(QD+QH)k=Q(D+)kQH=Q(Dk)+QH=(Ak)+且A+A=(QD+QH)QDQH=(QD+DQH)=QDD+QH=(QDQH)(QD+QH)=AA+​