MPC(模型预测控制)-Simulink仿真
文章目录
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- 一、为什么使用MPC控制器?
- 二、什么是MPC控制器?
- 三、MPC控制器的参数如何设置?
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- 3.1 采样时间
- 3.2 预测范围、控制范围
- 3.3 约束条件
- 3.4 权重
- 四、自适应增益调度和非线性MPC
- 五、Simulink仿真MPC控制器
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- 5.1 数学分析
- 5.2 实验过程
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一、为什么使用MPC控制器?
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① MPC可以处理多输入耦合控制多输出的问题:
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② MPC可以处理对于控制量有约束的问题
比如，驾驶汽车的时候，汽车速度和转角都有上限
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③ MPC具有预测效果
即MPC考虑的不是根据当前参考值进行控制，而是根据预测时间内的参考去预测当前的控制量，比如在小车转弯时，就避免了可能在过弯处急转弯。
MPC需要的算力高一些，因为MPC控制过程中，每个时间步都要求解一个相同形式不同参数的优化问题。
二、什么是MPC控制器?
- 小车的数学模型:
| item | inputs | outputs |
|---|---|---|
| Plant Model(被控对象的数学模型) | 之后m个控制量 | 之后p个时间步的预测输出 |
- 优化器：
| item | inputs | outputs |
|---|---|---|
| 优化器 | (数学模型, 之后p个时间步的参考轨迹, 约束条件) | 之后m个控制量 |
优化器要考虑两点:
① 预测轨迹与参考轨迹偏差最小
②控制量不突变
C o s t F u n c t i o n ≐ J = ∑ i = 1 p w e e k + i 2 + ∑ i = 0 p − 1 w Δ u Δ u k + i 2 Cost Function \doteq J = \sum_{i=1}^{p} w_e e_{k+i}^2 + \sum_{i=0}^{p-1} w_{\Delta u} {\Delta u_{k+i}}^2 CostFunction≐J=i=1∑pweek+i2+i=0∑p−1wΔuΔuk+i2
尽管优化器输出的是之后 p 个时间步的控制量，但是在当前时间步， M P C 仅将这个最有序列的第一步应用到汽车上，忽略其余部分 {\color{Red} 尽管优化器输出的是之后p个时间步的控制量，但是在当前时间步，}\\ {\color{Red} MPC仅将这个最有序列的第一步应用到汽车上，忽略其余部分} 尽管优化器输出的是之后p个时间步的控制量，但是在当前时间步，MPC仅将这个最有序列的第一步应用到汽车上，忽略其余部分
三、MPC控制器的参数如何设置?
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参数既会影响控制器的性能，又会影响计算复杂度。
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MPC主要的参数如下:
- ① 采样时间
- ② 预测范围、控制范围
- ③ 约束
- ④ 损失函数的权重
3.1 采样时间
采样时间过大，当干扰发生，控制器无法做出及时的反应。
采样时间过小，会导致过多的计算负载。
可以测量系统的阶跃响应，根据上升时间选择采样时间
3.2 预测范围、控制范围
我们应该选择一个涵盖系统重要动态的预测范围
预测范围过短，无法及时反映，可能会在弯道处急转弯
预测范围过长，之后的不可预测事件可能会白白浪费算力。
我们通常选择 20-30个样本覆盖系统的动态响应，如下图:
通常只有前几个时间步的控制对于预测影响较大(因为前几个要拽向ref轨迹，后面的维持稳定)， 因此，选择大的控制范围只会白白增大计算复杂度
经验法则: 控制范围 = 10%~20% × 预测范围
3.3 约束条件
可以对 控制量、控制量变化率、状态量进行约束
约束分为硬约束和软约束，无法违反的(比如最大车速)叫硬约束
软约束可以违反，但我们不希望违反，可以把它设计到损失函数之中
建议将输出约束设置为软约束，并避免对控制量及其变化率设置硬约束，否则可能会出现无解的情况
3.4 权重
损失函数由多个部分组成，需要设置权重
比如最基本的，我们既希望预测轨迹接近参考轨迹，又希望控制量是平滑的。
四、自适应增益调度和非线性MPC
- 线性系统 + 线性约束 + 时不变约束条件 => 可以使用线性时不变MPC控制器 => 凸优化问题
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但是如果系统是非线性的，就要使用自适应MPC、时间表MPC
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自适应MPC：具体思路是在非线性模型的各个工作点，建立多套线性模型
自适应MPC的线性模型在不同工作点上结构，超参数相同，只是矩阵参数不同而已
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- 时间表MPC: 对于不同工作点，需要设置不同数量超参数(控制量数目、预测步长…)的模型
如果是非线性的，那么优化问题就会变成多极值点的非凸优化问题，求解较复杂
五、Simulink仿真MPC控制器
| item | value |
|---|---|
| 输出量(状态量) | (横向位置Y、偏航角\phi) |
| 控制量 | (前轮转角delta) |
假定 V x 恒为 15 m / s , 使用线性化汽车模型 假定V_x恒为15m/s , 使用线性化汽车模型\\ 假定Vx恒为15m/s,使用线性化汽车模型
模型下载地址: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/68992-designing-an-mpc-controller-with-simulink?s_eid=PSM_15028
(一定要记得路径，matlab界面的路径一定得是模型文件路径。路径不对的话，plant和reference的mask无法显示正确，会显示问号，同时直接运行会报错)
步骤: https://ww2.mathworks.cn/help/releases/R2017b/mpc/examples/autonomous-vehicle-steering-using-model-predictive-control.html
5.1 数学分析
下面依次介绍各个模块:
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① Plant: 车辆线性模型
右键Plant模块，选择Block Parameters：
| 变量 | 含义 |
|---|---|
| V x V_x Vx | 小车平行于车身向前的速度 |
| m m m | 小车总质量 |
| I z I_z Iz | Yaw夹角转动惯量(绕小车中心旋转的转动惯量) |
| l f l_f lf | 小车质心到前轮的距离 |
| l r l_r lr | 小车质心到前轮的距离 |
| C α C_{\alpha} Cα | 汽车转角刚度((轮胎侧偏角的单位增量所对应的横向力的增量) (N/rad) |
| ψ \psi ψ | Yaw角 |
小车是自行车模型 ( b i c y c l e m o d e l w i t h t w o d e g r e e s o f f r e e d o m ) , 且 V x 恒为 15 m / s : {\color{Red} 小车是自行车模型(bicycle \quad model\quad with \quad two\quad degrees\quad of \quad freedom), 且V_x恒为15m/s:} 小车是自行车模型(bicyclemodelwithtwodegreesoffreedom),且Vx恒为15m/s:
- reference: 小车的自行车模型
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原理(1): 前轮运动 = 前轮相对于车身运动 + 车身相对于质心运动(旋转) + 小车质心相对于地面运动
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原理(2): Δ 轮胎受到垂直于车身的力 = C r ( 或者 C l ) Δ 轮胎转角 \Delta 轮胎受到垂直于车身的力 = C_{r}(或者C_{l} ) \Delta 轮胎转角 Δ轮胎受到垂直于车身的力=Cr(或者Cl)Δ轮胎转角
(注意: 自行车模型代替小车模型时，四轮变为两轮，因此 自行车的 C f 应该是小车的 2 C f 自行车的C_f应该是 小车的2C_f 自行车的Cf应该是小车的2Cf)
进行动力学分析：
由于 ψ 较小，简化为线性模型即 : Y ˙ = V x ψ + V y [ 公式一 ] 由于\psi较小，简化为线性模型即: \dot{Y} = V_x \psi + V_y \quad [公式一]\\ 由于ψ较小，简化为线性模型即:Y˙=Vxψ+Vy[公式一]
Δ 前轮相对于车身转角 = ( V y + ψ ˙ l f V x ) Δ 后轮相对于车身转角 = ( − V y − ψ ˙ l r V x ) ⇒ 前轮受到垂直于车身的力 = 2 C f ( − ψ + δ + Δ 前轮相对于车身转角 ) 后轮受到垂直于车身的力 = 2 C r ( − ψ + Δ 后轮相对于车身转角 ) ⇒ 根据 [ 公式一 ] : m y ¨ = − m V x ψ ˙ − m V y ˙ m V y ˙ = 前轮受到垂直于车身的力 + 后轮受到垂直于车身的力 ⇒ m y ¨ = − m V x ψ ˙ + 2 C f [ − ψ + δ − V y + ψ ˙ l f V x ] + 2 C r ( − ψ − V y − ψ ˙ l r V x ) 将 [ 公式一 ] 代入到上式 : y ¨ = − 2 C f + 2 C r m V x y ˙ − ( V x + 2 C f l f − 2 C r l r m V x ) ψ ˙ + 2 C α δ m [ 公式二 ] \Delta 前轮相对于车身转角 = (\frac{V_y + \dot{\psi}l_f}{V_x}) \\ \Delta 后轮相对于车身转角 = (- \frac{V_y - \dot{\psi}l_r}{V_x}) \\ \Rightarrow \\ 前轮受到垂直于车身的力 = 2C_{f} (-\psi + \delta + \Delta 前轮相对于车身转角) \\ 后轮受到垂直于车身的力 = 2C_{r} (-\psi + \Delta 后轮相对于车身转角)\\ \Rightarrow \\ 根据[公式一]: \\ m \ddot{y} = -mV_x \dot{\psi} - m\dot{V_y}\\ m\dot{V_y}=前轮受到垂直于车身的力 + 后轮受到垂直于车身的力 \\ \Rightarrow m\ddot{y} = - m V_x \dot{\psi} + 2C_f[-\psi +\delta - \frac{V_y + \dot{\psi}l_f}{V_x}] +2 C_r (-\psi - \frac{V_y - \dot{\psi}l_r}{V_x}) \\ 将 [公式一]代入到上式: \\ {\color{Red}\ddot{y} = -\frac{2C_f+2C_r}{mV_x}\dot{y} -(V_x+\frac{2C_fl_f-2C_rl_r}{mV_x}) \dot{\psi} + \frac{2C_{\alpha} \delta}{m} \quad [公式二] } Δ前轮相对于车身转角=(VxVy+ψ˙lf)Δ后轮相对于车身转角=(−VxVy−ψ˙lr)⇒前轮受到垂直于车身的力=2Cf(−ψ+δ+Δ前轮相对于车身转角)后轮受到垂直于车身的力=2Cr(−ψ+Δ后轮相对于车身转角)⇒根据[公式一]:my¨=−mVxψ˙−mVy˙mVy˙=前轮受到垂直于车身的力+后轮受到垂直于车身的力⇒my¨=−mVxψ˙+2Cf[−ψ+δ−VxVy+ψ˙lf]+2Cr(−ψ−VxVy−ψ˙lr)将[公式一]代入到上式:y¨=−mVx2Cf+2Cry˙−(Vx+mVx2Cflf−2Crlr)ψ˙+m2Cαδ[公式二]
求得小车模型的状态空间表达式为 : d d t [ y ˙ ψ ψ ˙ ] = [ − 2 C f + 2 C r m V x 0 − ( V x + 2 C f l f − 2 C r l r m V x ) 0 0 1 − 2 l f C f − 2 l r C r I z V x 0 − 2 l f 2 C f + 2 l r 2 C r I z V x ] [ y ˙ ψ ψ ˙ ] + [ 2 C f m 0 2 l f C f I z ] δ 求得小车模型的状态空间表达式为: \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\frac{2C_f+2C_r}{mV_x} & 0 & -(V_x+\frac{2C_fl_f-2C_rl_r}{mV_x}) \\ 0 & 0 & 1\\ -\frac{2l_fC_f-2l_rC_r}{I_z V_x} & 0 & - \frac{2l_f^2C_f+2l_r^2C_r}{I_zV_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \frac{C_f}{m}\\ 0 \\ \frac{2l_fC_f}{I_z} \end{bmatrix} \delta 求得小车模型的状态空间表达式为:dtd⎣ ⎡y˙ψψ˙⎦ ⎤=⎣ ⎡−mVx2Cf+2Cr0−IzVx2lfCf−2lrCr000−(Vx+mVx2Cflf−2Crlr)1−IzVx2lf2Cf+2lr2Cr⎦ ⎤⎣ ⎡y˙ψψ˙⎦ ⎤+⎣ ⎡2mCf0Iz2lfCf⎦ ⎤δ
正好就是Parameters中的A,B,C,D矩阵
5.2 实验过程
导入矩阵和参考轨迹参数，双击Params.mat即可：
需要更换参考轨迹的话，参考以下方法生成新的posRef和yawRef
打开APP->Driving Scenario designer->选择道路和参考轨迹
开始仿真:
