HOSVD高阶奇异值分解

高阶奇异值分解(High Order Singular Value  Decomposition,   HOSVD)


奇异值分解SVD(Singular Value Decomposition)是线性代数中一种重要的矩阵分解。

奇异值|A|=0
奇异值分解法是 线性代数和 矩阵论中一种重要的 矩阵分解法,在信号处理、统计学等领域有重要应用。
定义:设A为复数域内m*n阶矩阵,
A*表示A的 共轭转置矩阵,A*A的n个非负特征值的算术平方根叫作矩阵A的奇异值。记为σ i(A)。
如果把A*A的特征值记为λ i(A*A),则σi(A)=sqrt(λ i(A*A))。
同时,需要注意的是,任意矩阵都有奇异值。对于一般的方阵来说,其奇异值与 特征值是没有关系的。
直观的解释 [2]
在矩阵M的奇异值分解中 M = UΣV*
·U的列(columns)组成一套对M的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是MM*的特征向量。
·V的列(columns)组成一套对M的正交"输出"的基向量。这些向量是M*M的特征向量。
·Σ对角线上的元素是奇异值,可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是M*M及MM*的奇异值,并与U和V的行向量相对应。

SVD分解

SVD分解是LSA的数学基础,要理解LSA必须了解SVD,因此将LSA笔记的SVD一节单独作为一篇文章。本节讨论SVD分解相关数学问题,一个分为3个部分,第一部分讨论线性代数中的一些基础知识,第二部分讨论SVD矩阵分解,第三部分讨论低阶近似。本节讨论的矩阵都是实数矩阵。

基础知识

1. 矩阵的秩:矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的个数

2. 对角矩阵:对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵

3. 单位矩阵:如果对角矩阵中所有对角线上的元素都为1,该矩阵称为单位矩阵

4. 特征值:对一个M x M矩阵C和向量X,如果存在λ使得下式成立

2 

则称λ为矩阵C的特征值,X称为矩阵的特征向量。非零特征值的个数小于等于矩阵的秩。

5. 特征值和矩阵的关系:考虑以下矩阵

clip_image004

该矩阵特征值λ1 = 30,λ2 = 20,λ3 = 1。对应的特征向量

clip_image006

假设VT=(2,4,6) 计算S x VT

clip_image008

clip_image010

有上面计算结果可以看出,矩阵与向量相乘的结果与特征值,特征向量有关。观察三个特征值λ1 = 30,λ2 = 20,λ3 = 1,λ3值最小,对计算结果的影响也最小,如果忽略λ3,那么运算结果就相当于从(60,80,6)转变为(60,80,0),这两个向量十分相近。这也表示了数值小的特征值对矩阵-向量相乘的结果贡献小,影响小。这也是后面谈到的低阶近似的数学基础。

矩阵分解

1. 方阵的分解

1) 设S是M x M方阵,则存在以下矩阵分解

clip_image012

其中U 的列为S的特征向量,clip_image014为对角矩阵,其中对角线上的值为S的特征值,按从大到小排列:

clip_image016

2) 设S是M x M 方阵,并且是对称矩阵,有M个特征向量。则存在以下分解

clip_image018

其中Q的列为矩阵S的单位正交特征向量,clip_image014[1]仍表示对角矩阵,其中对角线上的值为S的特征值,按从大到小排列。最后,QT=Q-1,因为正交矩阵的逆等于其转置。

2. 奇异值分解

上面讨论了方阵的分解,但是在LSA中,我们是要对Term-Document矩阵进行分解,很显然这个矩阵不是方阵。这时需要奇异值分解对Term-Document进行分解。奇异值分解的推理使用到了上面所讲的方阵的分解。

假设C是M x N矩阵,U是M x M矩阵,其中U的列为CCT的正交特征向量,V为N x N矩阵,其中V的列为CTC的正交特征向量,再假设r为C矩阵的秩,则存在奇异值分解:

clip_image020

其中CCT和CTC的特征值相同,为clip_image022

Σ为M X N,其中clip_image024clip_image026,其余位置数值为0,clip_image028的值按大小降序排列。以下是Σ的完整数学定义:

clip_image030

σi称为矩阵C的奇异值。

用C乘以其转置矩阵CT得:

clip_image032

上式正是在上节中讨论过的对称矩阵的分解。

奇异值分解的图形表示:

clip_image034

从图中可以看到Σ虽然为M x N矩阵,但从第N+1行到M行全为零,因此可以表示成N x N矩阵,又由于右式为矩阵相乘,因此U可以表示为M x N矩阵,VT可以表示为N x N矩阵

3. 低阶近似

LSA潜在语义分析中,低阶近似是为了使用低维的矩阵来表示一个高维的矩阵,并使两者之差尽可能的小。本节主要讨论低阶近似和F-范数。

给定一个M x N矩阵C(其秩为r)和正整数k,我们希望找到一个M x N矩阵Ck,其秩不大于K。设X为C与Ck之间的差,X=C – Ck,X的F-范数为

clip_image036

当k远小于r时,称Ck为C的低阶近似,其中X也就是两矩阵之差的F范数要尽可能的小。

SVD可以被用与求低阶近似问题,步骤如下:

1. 给定一个矩阵C,对其奇异值分解:clip_image038

2. 构造clip_image040,它是将clip_image042的第k+1行至M行设为零,也就是把clip_image042[1]的最小的r-k个(the r-k smallest)奇异值设为零。

3. 计算Ckclip_image044

回忆在基础知识一节里曾经讲过,特征值数值的大小对矩阵-向量相乘影响的大小成正比,而奇异值和特征值也是正比关系,因此这里选取数值最小的r-k个特征值设为零合乎情理,即我们所希望的C-Ck尽可能的小。完整的证明可以在Introduction to Information Retrieval[2]中找到。

我们现在也清楚了LSA的基本思路:LSA希望通过降低传统向量空间的维度来去除空间中的“噪音”,而降维可以通过SVD实现,因此首先对Term-Document矩阵进行SVD分解,然后降维并构造语义空间。


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