【opencv+python】图像处理之二、几何变换(仿射与投影)的原理

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写在文章开始之前:
关于几何变换,常见的资料都没有把数学原理部分讲透彻,基本都是照着课本说,导致我很多地方无法彻底理解.思前想后还是把这一块分成两个部分,一部分专门讲数学原理,一部分专门讲应用.本文为数学原理部分。

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• 1. 几何变换的数学本质 Geometry Transformation
• 2. 齐次坐标 Homogeneous coordinates
• 3. 缩放、旋转、平移 Scaling,Rotation,Translation
  • 3.1. 缩放 Scaling
  • 3.2. 旋转 Rotation
  • 3.3. 平移 Translation
• 4. 仿射变换 Affine
• 5. 投影变换 Perspective

1. 几何变换的数学本质 Geometry Transformation

对图像的几何变换本质上是一种线性变换,其数学本质为

$$I_{new}=T{I}_{old}$$

即通过变换矩阵$T$将原图上的点的位置$I_{old}$变换到新的位置,从而得到新的图像$I_{new}$

2D平面变换示意图（“Computer Vision: Algorithms and Applications”, Richard Szeliski）

• Translation 平移
• Euclidean(rigid, rotation) 旋转
• Scale 缩放;图中没有画出
• Similarity 相似变换;结合旋转,平移和缩放
• Affine 仿射变换;想象在similarity的基础上用两只手对图像进行按压拉伸
• Projective 投影变换;想象投影仪做的事情,将一个面投影到另外一个面的情况

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2. 齐次坐标 Homogeneous coordinates

简单的说法就是对于点$P=[x;y{]}^T$我们无从得知这是一个点还是向量，之所以纠结这个概念的原因在于：平移对于向量没有意义，但对点有意义。我们希望对线性变换有一个统一的描述，结果发现在Homogeneous coordinates齐次坐标下我们能够和谐统一地描述这些。怎么把一个点转换到齐次坐标下来描述呢？很简单的一个方法是

直接将点$P=[x;y{]}^T$变为$P=[x;y;1{]}^T$
而向量$P=[x;y{]}^T$变为$P=[x;y;0{]}^T$

由于我们的变换矩阵是一个3x3的矩阵，最后一列的意义就是平移，这样就实现平移对向量无效，也能让线性变换统一写为$P_{new}=T{P}_{old}$$T$为变换矩阵，最后还要从齐次坐标转换回我们的欧几里得坐标。
完整的Homogeneous coordinates概念请翻阅"Multiple View Geometry in computer vision", Richard Hartley and Andrew Zisserman
平行线相交于一点

3. 缩放、旋转、平移 Scaling,Rotation,Translation

3.1. 缩放 Scaling

$$T=\left[\begin{array}{cc}{f}_x& 0\\ 0& f_y\end{array}\right]其次坐标下T=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& 0\\ 0& f_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
$f_x,f_y$分别为x方向和y方向的缩放系数

3.2. 旋转 Rotation

$$T=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]其次坐标下T=\left[\begin{array}{ccc}cos(\theta )& -sin(\theta )& 0\\ sin(\theta )& cos(\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

3.3. 平移 Translation

只有齐次坐标系下的表示
$$T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
$t_x,t_y$分别为x方向和y方向的平移距离

4. 仿射变换 Affine

$$T=\left[\begin{array}{ccc}{a}_0& a_1& a_2\\ a_3& a_4& a_5\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

5. 投影变换 Perspective

$$T=\left[\begin{array}{ccc}{H}_0& H_1& H_2\\ H_3& H_4& H_5\\ H_6& H_7& H_8\end{array}\right]$$