CSU_科学计算与数学建模_学习笔记（3）

科学计算与数学建模，郑洲顺老师
平台——学堂在线 https://www.xuetangx.com/course/CSU07011000630/5882763?channel=learn_title

首先，复习上节重点

• Newton插值法的插值基函数既有与节点相关又有升幂的特点，从而改进了Lagrange插值法计算不具继承性的不足。

• 如果改变插值节点的顺序， Lagrange插值对应节点基函数改变与Newton插值基函数不变

• 选择Newton向前差分公式和向后差分公式来求等距节点的插值多项式计算的是同一个差分表

误差讨论，插值余项

因为在已知点处，函数值等于插值基函数，误差函数等于零，因此得到误差余项函数在这些已知节点处函数值为零，因此R余项函数含有相应的一次因子，再利用罗尔定理，得到余项函数表达式

表达式中ξ不是一个常数，目标计算的x不同，ξ会不同，ξ是x的一个函数

插值误差事后误差估计法

通过两个已知的计算的近似值的偏差来估计当前计算值的偏差方法
应用，数值积分，微分方程数值解，计算机程序级数？控制

+问题1，误差会随着节点数量增加而减少吗？
答，虽然表达式中有n+1的阶乘做分母，但分子上有x与各节点间的插值（几何上理解为距离），当n增加时，如果新增节点比原来节点距离要估计的节点更远，当n足够大时，那么分子的增长速度远远快于分母
例子，计算根号下115的近似值，选取了多个节点计算余项函数

+问题2，限制节点间的距离，比如限制在区间长度2以内
？可行吗？
答，也不可行，会出现Runge现象，即在函数图像区间两端发生激烈的震荡

+问题3+接下来的分段低次插值函数引入
如何改进高次多项式插值逼近会发生激烈振荡的问题?
尤其是大数据时代，数据多反而造成误差大，如何解决？

低次插值函数—— 三次样条插值函数

+技巧，选取距离x最近的三个节点进行二次插值近似
（理由，只用两点，只能用线性插值，没有曲率信息，拟合曲线效果差）

分段低次插值函数，希望满足的条件

希望在每个子区间上，

• 足够简单
• 满足二阶可导
• 一阶导和二阶导，在区间上连续
  （备注，本笔记目的为方便记忆，更精准的文字描述见参考书籍）

三次样条插值函数

+问题，为什么叫样条函数？
样条（Spline），工程设计中的一种绘图工具，富有弹性的细木条或细金属条
升降相同，凹凸相同，分段的低次插值函数，二阶导保证凹凸相同，一阶导保证升降相同，得到的函数和工程上比出的样条相同

特点，一个区间，一个表达式，
有多少个未知数? 4n，因为每个区间有4个未知数（三次多项式函数）
4n-2个条件，再补两个条件，给出边界条件：（1)边界点处的一阶导数值，（2）边界点处的二阶导数值
解的存在性和唯一性？存在且唯一

+问题，上述思路，理论上可解，实际可行性低，函数未知数多，如何简化目标函数？

+思路，重要

1. 使用微分工具，把问题进行转化
   —— 一阶导函数3n个未知数，二阶导函数2n个未知数。简化原4n个未知数的问题
2. 二阶导数是线性函数——拉格朗日插值函数+区间间隔h表示—— >连续两次积分+两端点的函数值已知带入，两个方程解两个未知数——>积分常数求出——> 三次样条函数
   
   综上，只要确定Mi(i =0,1,…,n)。将这n+1个Mi系数求出来，就可以得到三次样条插值函数—— 即M方法，又称三弯矩法

求解M方法下的样条插值函数的系数

继而得到含n+1个未知数（M0到Mn）的n-1个方程组，
为了求解出所有未知数，需补充边界条件
（1）边界节点一阶导数信息
（2）边界节点二阶导数信息
（3）边界节点的周期性，左边界右趋近下的一阶导 = 右边界左趋近下的一阶导，或相应二阶导相等关系

+小总结，
这三类边界条件的系数矩阵都是严格对角占优的，因此满足这三类边界条件的三次样条插值函数存在且唯一（补充，严格对角占优的—— 意味着非奇异，方程组有解， Jacobi迭代法或Gauss–Seidel迭代法或0<ω≤1的SOR方法均收敛）

+认知，其他函数类插值，与多项类函数插值的算法和思想一样

阶段习题

• 分段低次插值克服了高次插值多项式误差可能产生振荡的不足，但分段低次插值函数在整个插值区间上不能保证一阶可导
• 根据三次样条插值函数的定义就能得出三次样条插值函数？少了边界条件，方程组不够求未知数
• n次插值多项式存在唯一的条件是？考虑系数矩阵——n+1个节点互异

+思考，如果已知的函数值本身就有误差，如何改进？
——> 见下节笔记