数值分析快速复习（1）——Matlab数值积分

序言

由于最近的项目需要用到数值分析的相关知识，需要简单回顾以下数值积分的知识，复习内容以上学期数值分析课本内容和课后Matlab作业为主，在这里将复习的感悟分享给大家。

数值积分基础知识

为什么要进行数值积分？

在工程中，自变量和因变量往往不能通过简单的函数映射关系去表达，例如最简单的光/声波的传播，也会因为噪声而变得不能用简单的三角函数去表达。因此f(x)往往是通过列表函数表达，对于列表函数，求导和积分的公式都不能使用，这就要求我们要学会数值积分这个强有力的工具。

另外，在高等数学里我们学过，一些函数根本不能积分，找不到初等函数的原函数，例如：1/ln(x),所以对于这些函数，也必须使用数值积分进行求解。

数值积分的几种基本方法？

插值型

对于列表函数或一些复杂函数，我们一般可以知道一些节点的具体坐标，根据这些坐标拟合出一个多项式，这个过程叫做插值，得到拟合的多项式再进行积分就非常简单了。

• 两个插值节点得到的求积公式——梯形公式
  
  

• 三个等距插值节点得到的求积公式——Simpson公式

• 五个等距插值节点得到的求积公式——cotes公式

复化求积公式

插值型求积公式在较小的积分区间中非常好用，但是随着积分区间的增大，截断误差也在不断增大，因此我们很自然的想到，如果将一个很大的积分区间划分成无限小段，再对每一小段使用前面的插值型求积公式，是不是就非常好了呢？

于是有了：

• 复化梯形公式
  

• 复化Simpson公式
  

• 复化Cotes公式
  

Romberg公式

从上面可以看到，复化Simpson公式计算简单，但是精度相比于复化cotes来说比较差，收敛速度也相对较慢。怎么样发扬优点，避免缺点呢？

数学家从复化梯形公式的误差估计式入手，推导梯形公式、Simpson公式、Cotes公式之间的关系，这样在计算Cotes公式时就不需要上面那么复杂的公式了，而是通过求梯形公式的值——Simposon公式的值——Cotes公式的值，这就是Romberg公式。

所以只需要计算最简单的梯形公式就可以得到很精确地Romberg积分值了！

（想看具体推导的同学，可以翻一下书本《数值分析（东南大学出版社）》215页）

作业：Matlab实现Romberg积分

贴一下我们老师布置的matlab作业的代码，实现了一个小的龙伯格积分，给大家作为参考。

%%Romberg integration method
clear,clc;format long;
f=@(x)1/(1+100*x^2);
syms x;            %定义函数
e=0.5*10^(-7);
for c=4:100
    for i=0:c
        n=2^i;
        h=2/n;
        x=zeros(1,n+1);
        x(1)=-1;
        x(n+1)=1;
        t=0;
        if i~=0
            for j=2:n
                x(j)=-1+2/n*(j-1);
            end
            t=f(x(2));
            if i~=1
                for j=3:n
                    t=t+f(x(j));
                end
            end
        end
        T(1,i+1)=h/2*(f(-1)+f(1)+2*t);
    end
    for i=1:c
        T(2,i)=4/3*T(1,i+1)-T(1,i)/3;
    end
    for i=1:c-1
        T(3,i)=16/15*T(2,i+1)-T(2,i)/15;
    end
    for i=1:c-2
        T(4,i)=64/63*T(3,i+1)-T(3,i)/63;
    end
    if abs(T(4,i)-T(4,i-1))<e
            break
    end
end
disp('____________________________________________________')
fprintf('区间等分数                   %f\n',n);
fprintf('积分值                       %f\n',T(4,i));
disp('____________________________________________________')

以上内容如有误，还请各位批评指正。