高中数学题型整理

1 曲线过一个定点

【题1】已知函数$g(x)=(a+1{)}^{x-2}+1(a>0)$的图像恒过定点A，且点A又在函数$f(x)={\log }_{\sqrt{3}}(x+a)$，求不等式$g(x)>3$的解集。
【分析及解答】：
（1）这个题最关键的是在于一个“恒”字，也就是说，无论$a>0$如何变化，都要经过的点。
利用指数运算的规则，可以知道，只有满足如下条件：
$$x-2=0$$
才能保证无论$a$如何变化，$g(x)$为一个固定值，所以利用这个条件，可以求得A点为$(2,2)$。
（2）利用第二个条件，将A点代入$f(x)$得到：
$$f(2)={\log }_{\sqrt{3}}(2+a)=2$$
可以得到$a=1$。
（3）将$a=1$代入$g(x)$，再利用第三个条件，得到
$$(2{)}^{x-2}+1>3$$
可以求解得到$x>3$。

总结：这个题有几个考点：一是如何理解“恒过”，二是指数运算规则。

2 求取值范围

【题1】设函数$y=m{x}^2-mx-1$
(1) 若对任意$x\in \mathbb{R}$，使得$y<0$成立，求实数$m$的取值范围；
(2) 若对于任意$x\in [1,3]$，$y<-m+5$恒成立，求实数$m$的取值范围。
【分析及解答】：
（1）$m$的值决定了是否是二次曲线。
分情况讨论：
第一种情况：$m=0$，则函数不是二次曲线，代入得到$y=-1<0$成立；
第二种情况：$m\ne 0$，则函数是二次曲线，现在就要判断函数是否有最大值。
如果$m>0$，函数是一个凹曲线，有最小值，没有最大值，不满足条件；
如果$m<0$，函数是一个凸曲线，有最大值，满足条件，现在就看函数$m{x}^2-mx-1=0$是否交于$x$轴，如果不交于$x$轴，即函数最大值在$y=0$的下面，有如下结论：

$$\{\begin{array}{l}m<0\\ \Delta =b^2-4ac=m^2-4m(-1)=m^2+4m<0(此时m{x}^2-mx-1=0无实数解)\end{array}$$
得到
$$\{\begin{array}{l}m<0\\ m>-4\end{array}$$
综上得：$m\in (-4,0]$。
（2）根据$y<-m+5$代入整理后得到
$$m{x}^2-mx+m-6<0$$
即：
$$m(x^2-x+1)<6$$
因为
$$g(x)=(x^2-x+1)=(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}>0$$
$g(x)$在$x\in [1,3]$是单调递增函数，即$\min g(x)=g(1)=1,\max g(x)=g(3)=7$。
根据$m(x^2-x+1)<6$可以得到：
$$m<\frac{6}{x^2-x+1}\le \frac{6}{7}$$
也就是说，$m$的取值范围为：$\{m|m<\frac{6}{7}\}$。