正态分布

最右 μ+3σ 是 0.1%， [μ−3σ,μ+3σ] ⇒ 99.7%；

1. 标准正态分布分位数表

Φ(x)=∫x−∞12π−−√e−t2/2dt

分位数的含义是，随机变量 X 或它的概率分布的分位数 Za，是指满足条件 p(X>Za)=α 的实数。

当随机变量X的分布函数为 F(x) ，分位数有三种不同的称呼:

• α 分位数；

  实数 α 满足 0<α<1 时，α 分位数是使 P{X< xα}=F(xα)=α 的数 xα

• 上侧 α 分位数；

  上侧 α 分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ

• 双侧 α 分位数；

  双侧 α 分位数是使 P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α 的数 λ1、使 P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α 的数 λ2

  0.95 ⇒ 对应的双侧 α=0.05 ⇒ x≈1.96
  0.99 ⇒ 对应的双侧 α=0.01 ⇒ x≈2.58

2. 期望为0的正态分布 k 阶原点矩、绝对矩通项公式

X∼N(0,σ2) ，

• E(|X|2k+1)=2σ2π√k!(2σ2)k
• E(X2k)=σ2k(2k−1)!!

（双阶乘是一个数学概念，用n!!表示。正整数的双阶乘表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数乘积。前6个正整数的双阶乘分别为：1!!=1，2!!=2，3!!=3，4!!=8，5!!=15和6!!=48。）

四阶矩的证明：