非线性动力方程中的解析法和数值法（解析解和数值解）

解析法与数值法的定义

1.解析法和数值法

  解析法就是用全部都是已知量的式子来表达某个未知量。
   数值法就是直接用一个数值代入式子计算,看看等号或者不等号是否成立,不成立的话就调整代入式子的那个数。

2.解析分析和数值模拟 （1.2.这两个应该都是同一个意思不同表达）

   解析分析就是用数学分析的方法,比如微分、积分、特殊方程等,对实际情况进行模拟,列出方程,用解析的方式,求出“比较正规”的函数解（这样可以解决的问题是很有限的,因为在实际问题中,有很多是不能用函数简单模拟的；而且这样的方式,解决方法灵活多变,不利于机器模拟——虽然有软件可以做到）
  数值模拟——以不用具体的函数表达式,而是用多个点的数值表示函数的方法,来解实际问题的解法,恩,一般来说,差分法是最常用的（这样做的在于应用范围很广,但是计算误差必须估计）
盼有所帮助.
补充一点：另外一种可能,解析分析就是用解析的方法求解,数值模拟用于检验（龙格-库塔法）。

3.解析解和数值解

   解析解（analytical solution） 就是由严谨的数学公式，结合给出的自变量的值就可以求出因变量， 也就是问题的解。他人可以利用这些公式计算各自的问题（例如一元二次方程的通用求解公式可以用来求解各种一元二次方程）。所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至是无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法。
  数值解（numerical solution）是采用某种计算方法，如有限元的方法，数值逼近，插值的方法，得到的解。他人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值（？？？）
**个人理解：**数值解类似于通解，而数值解类似于特解

常用的解析法理论

1.谐波平衡法

  在非线性动力学系统中，其定常解是近似于简谐的周期解，谐波平衡法利用截断的傅立叶级数来确定非线性动力学系统的近似解析解。设非线性系统的动力学方程为：
$$\ddot{x}+f(x,\dot{x})=F(t)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$其中$f(x,\dot{x})$为关于$x$和$\dot{x}$的非线性函数；$F(t)$为外加激励，周期为$T$，其傅里叶级数为：
$$F(t)=A+\sum _{k=1}^{\infty }(B_{k}cosk\omega t+C_{k}sink\omega t)\text{\hspace{1em}(1.2)}$$将方程$(1.2)$的周期解设为傅立叶级数形式:
$$x(t)=a+\sum _{k=1}^{\infty }({\beta }_{k}cosk\omega t+{\gamma }_{k}sink\omega t)\text{\hspace{1em}(1.3)}$$设$f\left[x(t),\dot{x}(t)\right]$也可以展开为傅立叶级数形式:
$$\alpha =\alpha \left(a,b_1,c_1,\cdots \right)=\frac{1}{T}{\int }_T^{0}f\left[x(t),\dot{x}(t)\right]dt\text{\hspace{1em}(1.4a)}$$ $$\beta =\beta \left(a,b_1,c_1,\cdots \right)=\frac{2}{T}{\int }_T^{0}f\left[x(t),\dot{x}(t)\right]cosk\omega tdt\text{\hspace{1em}(1.4b)}$$ $$\gamma =\gamma \left(a,b_1,c_1,\cdots \right)=\frac{2}{T}{\int }_T^{0}f\left[x(t),\dot{x}(t)\right]sink\omega tdt\text{\hspace{1em}(1.4c)}$$其中$k=1,2,3,\cdots$，令等式两端$cosk\omega t$和$sink\omega t$对应系数相等，则可以得到确定的系数$b_k$和$c_k$的无穷方程组：
$$\alpha =A\text{\hspace{1em}(1.5a)}$$ $$k^2{\omega }^2{b}_k={\beta }_k\left(a,b_1,c_1,\cdots \right)-B_k\text{\hspace{1em}(1.5b)}$$ $$k^2{\omega }^2{c}_k={\gamma }_k\left(a,b_1,c_1,\cdots \right)-C_k\text{\hspace{1em}(1.5c)}$$其中若$k=1,2,3,\cdots$, $k$取有限项即为近似解，此时根据三角级数的正交性和式$(1.4)$可列出$2n+1$个方程。

2.平均法（均值法）理论

  平均法是由常数易变法[^1]演变而来地一种求解非线性微分方程渐进解的方法。它的基本思想是根据弱非线性振动系统中振动的拟谐和性质，假设非线性系统与其派生系统的解具有相似的形式，并根据非线性振动系统的振幅、初相位关于时间的导数都是$O(\epsilon )$约量级的周期函数的特性，将非线性振动系统的振幅、初相位关于时间的导数看成是时间t的缓变函数，并用一个周期的平均值代替它，故称其为平均法。

[^1]：有以下一阶线性微分方程：
$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$P(X)\not\equiv 0且Q(x)\not\equiv 0$.
若解其对应的齐次方程：
$$y^{\prime }+P(x)y=0\text{\hspace{1em}(2)}$$则有：
$$y=C{e}^{-\int P(x)dx}(C\ne 0)$$即为齐次方程的通解。这时，我们可以用常数变易法来求非齐次方程$(1)$ 的通解，即将齐次方程$(2)$的通解中的常数$C$ 换成（变易为）一个关于$x$的未知函数$u(x)$,变易之后，非齐次方程通解表示如下：
$$y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx}(u(x)\ne 0)\text{\hspace{1em}(3)}$$于是将该通解形式代入原方程$(1)$，可以解得：
$$u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$$将上式代入$(3)$式，即可解得：
$$y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$这就是所谓常数变易法。

以一自由度系统的自由振动为例，其动力学方程为：
$$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=\epsilon f(x,\dot{x})\text{\hspace{1em}(2.1)}$$式中$x$为广义位移，随时间$t$变化；$\epsilon$为小参数；$\omega$为常数，是方程$(2.6)$所对应的线性系统的固有频率，即当$\epsilon =0$时的固有频率；函数$f(x,z)$是$n$阶可微的。
如$\epsilon =0$，可得方程派生系统的解为
$$\{\begin{array}{c}x=acos\psi \\ \dot{x}=-a\omega sin\psi \end{array}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$其中，$\psi =\omega t+\theta$，而$a$，$\theta$为由起始条件确定的常数，当$\epsilon \ne 0$时，$a$，$\theta$为时间$t$的函数，现在研究$a$，$\theta$是什么函数时，解$(2.2)$满足方程$(2.1)$。经过变换我们可以解出
$$\frac{da}{dt}=-\frac{\epsilon }{\omega }f(acos\psi ,-a\omega sin\psi )sin\psi =\epsilon \varphi (a,\psi )\text{\hspace{1em}(2.3a)}$$ $$\frac{d\theta }{dt}=-\frac{\epsilon }{\omega a}f(acos\psi ,-a\omega sin\psi )cos\psi =\epsilon {\varphi }^{\ast }(a,\psi )\text{\hspace{1em}(2.3b)}$$由方程$(2.3)$的形式可知，相位与振幅关于时间$t$的导数均与$\epsilon$成比例，求其近似解，设函数$a$，$\theta$是由随时间缓变的项$y$，$\vartheta$和小振动项叠加而成的，对其做KB变换，即克雷洛夫一包戈留包夫变换，可得:
$$a=y+\epsilon U_1(t,y,\vartheta )+{\epsilon }^2{U}_2(t,y,\vartheta )+\cdots \text{\hspace{1em}(2.4a)}$$ $$\theta =\vartheta +\epsilon V_1(t,y,\vartheta )+{\epsilon }^2{V}_2(t,y,\vartheta )+\cdots \text{\hspace{1em}(2.4b)}$$且新变量$y$，$\vartheta$的导数为:
$$\dot{y}=\epsilon Y_1(y)+{\epsilon }^2{Y}_2(y)+{\epsilon }^3{Y}_3(y)+\cdots \text{\hspace{1em}(2.5a)}$$ $$\dot{\vartheta }=\epsilon Z_1(y)+{\epsilon }^2{Z}_2(y)+{\epsilon }^3{Z}_3(y)+\cdots \text{\hspace{1em}(2.5b)}$$其中$Y_1,Y_2,Y_3,Z_1,Z_2,Z_3$不显含时间$t$, $U_1,U_2,V_1,V_2$为$\vartheta$的以$2\pi$为周期的周期函数，以及为$t$的以$T$为周期的周期函数。
  将$(2.4)$带入$(2.3)$中，考虑到$(2.4)$，令得到的等式两端$\epsilon$同次方的系数相等，可以得到能够确定$Y,Z,U,V$的微分方程，得到方程$(2.1)$的第一次近似解(精度为$\epsilon$的一次幂的解)为:
$$x=ycos(\omega t+\vartheta )\text{\hspace{1em}(2.6a)}$$ $$\dot{y}=\epsilon Y_1(y)\text{\hspace{1em}(2.6b)}$$ $$\dot{\vartheta }=\epsilon Z_1(y)\text{\hspace{1em}(2.6c)}$$