MIT_线性代数笔记_10_四个基本子空间

MIT 公开课:Gilbert Strang《线性代数》课程笔记(汇总)


Lecture 10: The four fundamental subspaces
课程 10:四个基本子空间


四个基本子空间

A 是一个 m×n 维矩阵, rankA=r.

  • 列空间

    • A 的所有列向量生成的空间称为 A 的列空间,记为 C(A).
    • 由于 A 的每一列都是 m 维列向量,因此 C(A)Rm.
    • A 的列空间的维数为 rankA=r A 的任意 r 个线性无关的列向量都是 C(A) 的一组基。
  • 零空间

    • Ax=0 的解 x 的集合称为 A 的零空间,记为 N(A).
    • 由于 x n 维列向量,因此 N(A)Rn.
    • A 的零空间的维数为 nrankA=nr,也就是自由变量的个数, Ax=0 nr 个特解(或称为基础解系)构成 N(A) 的一组基。
    • 零空间与列空间维数的关系:
      dimC(A)+dimN(A)=n.
  • 行空间

    • A 的所有行向量张成的空间称为 A 的行空间,也即是 AT 的所有列向量生成的列空间,也即是 AT 的列空间,记为 C(AT).
    • 由于 A 的每一行都是 n 维向量,因此 C(AT)Rn.
    • A 的行空间的维数为 rankA=r A 的任意 r 个线性无关的行都是 C(AT) 的一组基。
    • A 的行空间与列空间的维数相等,都等于 A 的秩,即
      dimC(AT)=dimC(A)=rankA.

      这是因为矩阵的行秩等于列秩。
    • 初等行变换不改变行空间,但会改变列空间。
  • 左零空间( AT 的零空间)

    • AT 的零空间也称为 A 的左零空间,记为 N(AT).
    • 对于任意的 yN(AT) ,有 ATy=0 ,取转置即得 yTA=0 ,因此 A 的左零空间即为 yTA=0 的解 y 的全体,因此称为左零空间(y 在左边,对比于零空间的 x 在右边)。
    • 由于 N(AT) 中的每一个向量都是 m 维列向量,因此 N(AT)Rm.
    • dimN(AT)=mr ,那么如何求 N(AT) 的一组基?

      A=111212323111

      为例,对 A 作初等行变换将 A 化为简化行阶梯形式 R ,记录变换所用的矩阵,即对 (A,I) 作初等行变换,当 A 变为简化行阶梯形式 R 时, I 就变成了变换所用的矩阵 E,即 E(A,I)=(R,E) ,由此可得
      111210001111212323111=100010110100=R.

      注意到 R 的最后一行为零,即
      (1,0,1)A=(0,0,0,0).

      因此可知 (1,0,1)TN(AT) ,又因为
      dimN(AT)=3rankA=32=1

      因此, (1,0,1)T 即为 N(AT) 的一组基。
      这就是求解 N(AT) 的一般步骤,即试着寻找一个产生零行向量的行组合。
    • 左零空间与行空间维数的关系:
      dimN(AT)+dimC(AT)=m.

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