MIT_线性代数笔记_10_四个基本子空间

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 10: The four fundamental subspaces
课程 10：四个基本子空间

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四个基本子空间

设 A 是一个 m×n 维矩阵， rankA=r.

• 列空间

  • A 的所有列向量生成的空间称为 A 的列空间，记为 C(A).
  • 由于 A 的每一列都是 m 维列向量，因此 C(A)⊂Rm.
  • A 的列空间的维数为 rankA=r ， A 的任意 r 个线性无关的列向量都是 C(A) 的一组基。

• 零空间

  • Ax=0 的解 x 的集合称为 A 的零空间，记为 N(A).
  • 由于 x 是 n 维列向量，因此 N(A)⊂Rn.
  • A 的零空间的维数为 n−rankA=n−r，也就是自由变量的个数， Ax=0 的 n−r 个特解（或称为基础解系）构成 N(A) 的一组基。
  • 零空间与列空间维数的关系：
    
    dimC(A)+dimN(A)=n.

• 行空间

  • A 的所有行向量张成的空间称为 A 的行空间，也即是 AT 的所有列向量生成的列空间，也即是 AT 的列空间，记为 C(AT).
  • 由于 A 的每一行都是 n 维向量，因此 C(AT)⊂Rn.
  • A 的行空间的维数为 rankA=r， A 的任意 r 个线性无关的行都是 C(AT) 的一组基。
  • A 的行空间与列空间的维数相等，都等于 A 的秩，即
    
    dimC(AT)=dimC(A)=rankA.
    
    这是因为矩阵的行秩等于列秩。
  • 初等行变换不改变行空间，但会改变列空间。

• 左零空间( AT 的零空间)

  • AT 的零空间也称为 A 的左零空间，记为 N(AT).
  • 对于任意的 y∈N(AT) ，有 ATy=0 ，取转置即得 yTA=0 ，因此 A 的左零空间即为 yTA=0 的解 y 的全体，因此称为左零空间（y 在左边，对比于零空间的 x 在右边）。
  • 由于 N(AT) 中的每一个向量都是 m 维列向量，因此 N(AT)⊂Rm.
  • dimN(AT)=m−r ，那么如何求 N(AT) 的一组基？
    以
    
    A=⎛⎝⎜111212323111⎞⎠⎟
    
    为例，对 A 作初等行变换将 A 化为简化行阶梯形式 R ，记录变换所用的矩阵，即对 (A,I) 作初等行变换，当 A 变为简化行阶梯形式 R 时， I 就变成了变换所用的矩阵 E，即 E(A,I)=(R,E) ，由此可得
    
    ⎛⎝⎜−11−12−10001⎞⎠⎟⎛⎝⎜111212323111⎞⎠⎟=⎛⎝⎜100010110100⎞⎠⎟=R.
    
    注意到 R 的最后一行为零，即
    
    (−1,0,1)A=(0,0,0,0).
    
    因此可知 (−1,0,1)T∈N(AT) ，又因为
    
    dimN(AT)=3−rankA=3−2=1
    
    因此， (−1,0,1)T 即为 N(AT) 的一组基。
    这就是求解 N(AT) 的一般步骤，即试着寻找一个产生零行向量的行组合。
  • 左零空间与行空间维数的关系：
    
    dimN(AT)+dimC(AT)=m.

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