代码随想录算法训练营第二十四天|回溯算法基础、77.组合、216.组合总和III

回溯算法

第一天开始回溯算法，基础理论如下：

回溯其实也是一种暴力解法，用来解决一些需要嵌套很多层的暴力法，也是穷举，但是可以配合一定的剪枝操作，使得效率提高一些。

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯算法解决的问题都可以抽象为树形结构

回溯法模板

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

77.组合

每次搜索，可选范围不断收缩

采用startIndex来记录每一次开始搜索的位置

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) { //中止条件
            result.push_back(path); //处理结果
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点 
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

剪枝操作

当搜索范围小于k时，剩余的元素满足不了要求的数量，应该将这一部分剪掉，不去搜索

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

剪枝的地方就在递归中每一层for循环的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();

所需需要的元素个数为: k - path.size();

列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - path.size()）

在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。
从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方,最大的起始位置
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

216.组合总和III

这题和上题类似，只不过需要求每个组合的和，然后去和目标值比较

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    int sum = 0;
    void backtracking(int k, int n, int startIndex) {
        if (sum > n) return; //剪枝
        if (path.size() == k) {
            if (sum == n) {
            result.push_back(path);                
            }
            return;
        }

        for (int i = startIndex; i <= 10 - (k - path.size()); i++) { //剪枝
            path.push_back(i);
            sum += i;
            //在这剪枝的话把回溯也做了
            /*
            if (sum > n) {
                sum -= i;
                path.pop_back();
                return;
            }
            */
            backtracking(k, n, i +1);
            sum -= i;
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(k, n, 1);
        return result;
    }
};

总结

第一天解回溯的问题，需要注意记住回溯算法的模板以及剪枝方法，后面的问题大都按照这个模板来。