[声纹识别基础] TDNN怎么用的一维卷积？

时延神经网络（TDNNs）常用于声纹识别领域，例如著名的X-VECTOR基础结构就是TDNNs；它可以视作一维卷积神经网络¹（1-d CNNs），甚至有人认为TDNNs是CNNs/LeNet-5的早期版本。

计算机视觉盛行的如今，数字图像处理中二维卷积（空域滤波/模版运算/互相关运算²）对于我们而言也不再陌生，无非就是中心数值等于按元素相乘后再相加嘛。

可是，到底如何理解一维卷积？它和二维卷积又有什么联系？
不妨通过实验，一探究竟。

单输入通道/单输出通道

预期结果

首先，我们暂时忽略通道。假定输入为$[1,2,-1,1,-3]$，核函数为$[1,0,-1]$（卷积核是一维的，移动方向也自然是一维的），如果卷积核在输入向量上移动，请问结果是多少呢？可以看看我有没有算错。
顺带一提，这里输入是一行五列的矩阵。不过换一个角度，我们也可以认为每次输入的是3帧信息，并按照某种权重加和汇入1个新帧。

这里的3是卷积核尺寸($kernelsize$)，从共享参数的全连接输入的角度说，3也是上下文所涵盖的范围,$(n-1,n+1)or\{n-1,n,n+1\}$。

参考代码

# 输入
import torch.nn as nn
from torch.nn import Parameter
import torch.nn.functional as F
import torch
import numpy as np
import math

input = torch.tensor([
    [[1, 2, -1, 1, -3], ]
], dtype=torch.float)

conv1d = nn.Conv1d(in_channels=1,
                   out_channels=1,
                   kernel_size=3,
                   stride=1,
                   padding=0,
                   dilation=1,
                   bias=False,
                   padding_mode='zeros')


# 卷积核
conv1d.weight = nn.Parameter(torch.tensor([
    [[1., 0, -1], ]
]))

# 输出
conv1d(input)

运行结果

 tensor([[[2., 1., 2.]]], grad_fn=<ConvolutionBackward0>)

多输入通道/单输出通道

但是，一般说来，TDNNs输入的声学特征并不是一个向量，而是一个矩阵，横轴（宽度）与时间有关【不固定】，纵轴（高度）和频率相关【固定】，所以它有时也被称为时频谱图（Spectrogram）。

图片来自MathWorks。

你还可以在 CHROME MUSIC LAB:SPECTROGRAM 上，亲自动手玩玩可视化自己的或自然的声音。

当然，上文所指的广义的时频谱也分很多种（常见的有MFCC、MFBank、MelSpec等），对应各种不同的处理方式（例如，模拟人耳对频率、声强的非线性，平稳信号等），不过它们一般都要经历短时傅里叶变换（分帧、加窗、离散傅里叶变换）。

预期结果

我们暂时忽略输出通道。从一维卷积的视角说，[频率，时间] 应当被视作 [通道数，输入长度]，即每个通道各有一个卷积核或一组共享权重，每个通道独立计算再把各个通道的结果相加³。

假定输入为双通道（例如表示高频和低频）$$[[1,2,-1,1,-3],[3,1,0,-1,2]]$$各通道上的核函数分别为$[1,0,-1]$和$[0.5,0,0.5]$，请问这次结果又是多少呢？相信你肯定比我算的快。

参考代码

# 输入
input = torch.tensor([
    [[1, 2, -1, 1, -3],
     [3, 1, 0, -1, 2]]
], dtype=torch.float)

conv1d = nn.Conv1d(in_channels=2,
                   out_channels=1,
                   kernel_size=3,
                   stride=1,
                   padding=0,
                   dilation=1,
                   bias=False,
                   padding_mode='zeros')

# 卷积核
conv1d.weight = nn.Parameter(torch.tensor([
    [[1., 0, -1],
     [0.5, 0, 0.5]],
]))

# 输出
conv1d(input)

运行结果

 tensor([[[3.5000, 1.0000, 3.0000]]], grad_fn=<ConvolutionBackward0>)

多输入通道/多输出通道

预期结果

最后，该如何理解输出通道呢？其实无非就是把单输出通道的那一份卷积核，扩增几倍而已。例如，仍然假定输入为双通道$$[[1,2,-1,1,-3],[3,1,0,-1,2]]$$不过此时我们考虑简化的双输出通道的情况：

第一份输出：各输入通道上的核函数分别为$[1,0,-1]$和$[0.5,0,0.5]$；

第二份输出：各输入通道上的核函数仍然是$[1,0,-1]$和$[0.5,0,0.5]$。

那么，我们就可以得到双倍的输出。

参考代码

# 输入
input = torch.tensor([
    [[1, 2, -1, 1, -3],
     [3, 1, 0, -1, 2]]
], dtype=torch.float)

conv1d = nn.Conv1d(in_channels=2,
                   out_channels=2,
                   kernel_size=3,
                   stride=1,
                   padding=0,
                   dilation=1,
                   bias=False,
                   padding_mode='zeros')

# 卷积核
conv1d.weight = nn.Parameter(torch.tensor([
    [[1., 0, -1],
     [0.5, 0, 0.5]],
    
    [[1., 0, -1],
     [0.5, 0, 0.5]],
]))

# 输出
conv1d(input)

运行结果

tensor([[[3.5000, 1.0000, 3.0000],
         [3.5000, 1.0000, 3.0000]]], grad_fn=<ConvolutionBackward0>)

从二维卷积角度理解一维卷积

预期结果

其实，如果将各个通道的一维卷积核拼接起来：所谓的一维卷积在各通道上的加和，完全可以用二维卷积核$[channels,kernel\_size]$按元素相乘后再相加理解。

所以，许多博主所认为的一维卷积不代表卷积核是一维的，只代表卷积核的移动方向是一维的这种说法，从某种角度说，也有一定的道理。

不过值得注意的是，Pytorch中Conv1d和Conv2d输入维度不一样。

例如，
一维卷积 $[batch,channels,length]$，
二维卷积 $[batch,channels,height,width]$。

参考代码

# 输入
input = torch.tensor([
    [[1, 2, -1, 1, -3],
     [3, 1, 0, -1, 2]]
], dtype=torch.float)

input=input.unsqueeze(dim=1)

conv2d = nn.Conv2d(in_channels=1,
                   out_channels=2,
                   kernel_size=(input.shape[2],3),
                   stride=1,
                   padding=0,
                   dilation=1,
                   bias=False,
                   padding_mode='zeros')

# 卷积核
conv2d.weight = nn.Parameter(torch.tensor([
    [[[1., 0, -1],
     [0.5, 0, 0.5]]],
    
    [[[1., 0, -1],
     [0.5, 0, 0.5]]],
]))

# 输出
conv2d(input)

运行结果

tensor([[[[3.5000, 1.0000, 3.0000]],
         [[3.5000, 1.0000, 3.0000]]]], grad_fn=<ConvolutionBackward0>)

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1. Daniel Povey et al. “Semi-Orthogonal Low-Rank Matrix Factorization for Deep Neural Networks…” conference of the international speech communication association(2018): n. pag. ↩︎

2. http://zh.d2l.ai/chapter_convolutional-neural-networks/conv-layer.html ↩︎

3. http://zh.d2l.ai/chapter_convolutional-neural-networks/channels.html#id2 ↩︎