4位先行进位电路 logisim_数字电路学习笔记（八）：计算电路

好吧，标题不对仗了......本文是笔记（七）：经典组合逻辑器件（上）的后续，主要讲两类与计算相关的逻辑电路：加法器与比较器。

一、加法器

1. 半加器

最最基础的加法器，能做一位比特的加法，也就是

这样的形式，（此处的加号是货真价实的“加法”，而不是或逻辑），其中

是进位(carry)。二进制下，加法符合：

因此列出真值表：

其实在笔记（三）：基本逻辑中，已经提到过，异或逻辑是二进制下的加法运算——此处我们也可以发现，

。另外还得出

。

这幅图中展示了四种输入情况时不同的输出。

2. 多位加法器

一位加法器并不能使我们满足。如果我们要做的加法不止一位，比如，计算1101+0111时，如果是手算，那就会列竖式：

发现其实中间几位在做加法时，需要加三个数字，而不只是两个。考虑一个四比特的加法：

除了最低一位，其他每一位都需要处理三项输入：两个数位和一个来自低位的进位。前一节中的加法器只能有两个输入，只能处理最低一位，对于其他位，我们需要增加一个输入，也就是来自更低位的进位信号。这样，才能实现加法的扩展。完成的运算是：

有两种表示方法。前者使得三个输入完全处于对称的地位；后者则突出了

的不同。此处采用后者。

按我的习惯，会像这样表示这个加法器：

这便是一位加法器的抽象。如何将其扩展为更多位的加法器？回到加法的竖式：

对于每一位输出，将更低位的进位和这一位对应的两个输入相加，然后把进位传递给更高位即可。这是加法器的简单“串联”。注意到，由于在上图的表示中，进位在侧面，连线时就不会和其他的输入数位混淆。

举个例子，输入

，则输出

，也就是13+7=20。

此时设计出的电路就是74HC283（虽然它采用的是超前进位而不是串行进位，但这种技术细节不是非常重要）。它能做四比特的加法——许多计算类的电路都以四比特为单位，因为四比特刚好是一个十进制或十六数字的长度。

3. 减法器

计算减法，不必再使用新的元件。回顾在笔记（二）：数制与编码中所提到的”补码“：

所以，如果需要做减法运算，实际上需要做两步：1. 将减数取反；2. 整体+1。其中+1一步甚至不需再做一次加法——注意到在加法器中，最低位仍然有一个低位进位

，只是默认被置为了0。如果将其置为1，则能很方便地将最终的和加一。因此，在上图中的串行加法器上略作修改，添加一位输入

，其为0时，电路作加法；值为1时，电路作减法。（小技巧：异或门可以用于作原变量-反变量选择器）

二、比较器

为了做运算，除了做加减法，还要能做比较——比较器能比较两个数的数值大小。两个数

作比较，有三种情况：

。每种情况，都用一位输出表示。

拓展到更多位数，我们会发现有优先级的存在：如果高位之间已经能比出大小，就没有必要比较更低的位数了——只有在高位相同的情况下，才需要接着比下一位。以比较

与

为例，不妨直接写出它的逻辑式：

（此公式虽然看着恐怖如斯，但仔细分析，原理非常简单）

同时，和加法器的设计准则一致，为了保证可扩展性，还要再加入一个考虑，就是更低位之间的关系。为此，再加入三个端口：

。

事实上，此电路无论什么时候，I_A>B，I_A=B 和 I_A<B 三个输入必有一个为高电平，即使是最低一位，I_A=B 也应 置为高电平，这样才能正常输出

这就是四位比较器74HC85的内部逻辑。

三、算术逻辑单元 (ALU)

算术逻辑单元 (Arithmetic Logic Unit) 是计算机中实现数值和逻辑的基础元件——它不是实现某一特定功能的元件，而是许多功能的集合。在前文中实现了所有需要的元件之后，我们可以尝试做出一个1比特ALU。它能执行的指令包括：

ADD    X1,  X2,  X3     //加法
SUB    X1,  X2,  X3     //减法
AND    X1,  X2,  X3     //按位与
ORR    X1,  X2,  X3     //按位或

每一个指令都要接受两个参数。我们先设计按位与和按位或：每个用一个逻辑门实现，然后再用一个2选1选择器决定使用哪个输出。

这个电路当操作符Op为0时，输出

；为1时，输出

。接下来，可以增添加法功能：

把2选1选择器扩充为了4选1，并且Op操作符也变成了两位。Op=00，做AND A, B；Op=01，做ORR A, B；Op=10，做ADD A, B。 现在ALU也拥有了进位输入输出，可以将其串联，扩展为更多位的运算。

我们继续增添减法功能。由于之前说过，减法不过是将

取反，并在最低位的进位输入1；所以对于每一个ALU，我们先将

取反即可。同时，既然这个电路可以将

取反，我们自然也想将

取反。这样，我们可以实现更复杂的运算，比如或非运算：

。

其中

和

表示了是否对

和

取反。至此，我们实现了与、或、加、减等几个ALU的基本功能。比如，要做减法，应输入

。我们令ALU控制指令为

，则有效指令和对应运算的关系如下：

• 0000: A & B
• 0001: A | B
• 0010: A + B
• 0110: A - B

当然，实际的ALU的功能不止于此。在未来的某篇文章，会真正设计一个完整的ALU。

至此，我们介绍完了所有常见的组合逻辑电路，并在这其中反复展示了我们是如何一步步从需求到电路实现的，还演示了几次如何利用现有的集成电路实现更多功能。我们已经有了实现一个计算机所需要的最关键的部分之一——计算单元。从下一章开始，我们将会开始关注CPU中另一个灵魂所在——时钟和时序电路。