对数正态分布_「BSM模型」布朗运动，几何布朗运动，正态分布，对数正态分布...

我相信，很多初学者看到这几个名词会有点晕头转向。本文曲曲菜通过自己的理解，对这几个名词做出一些解释，希望能够对需要的人有所帮助。

布朗运动的变量z的数学表达式为

。其单位时间内的独立增量符合标准正态分布，某时刻z的值分布符合正态分布。

几何布朗运动的变量ST的随机微分方程为dS=μSdt+σSdz。用伊藤引理进行推导后，可以得

。所以变量ST对数的分布是正态分布，也就是ST是对数正态分布。另外，ST对数单位时间的独立增量也符合正态分布。

有资料说几何布朗运动的对数符合布朗运动，曲曲菜理解这里符合的这个布朗运动是广义的布朗运动，也就是广义维纳过程。因为从几何布朗运动变量的对数的分布来看，其单位时间的独立增量是正态分布，并非标准正态分布，而布朗运动单位时间独立增量是标准正态分布。

几何布朗运动和对数正态分布通常用于描述股价。根据曲曲菜的理解，可以描述为：在给定今天股价的前提下，股票在未来的价格服从几何布朗运动(股价对数单位时间独立增量是正态分布)，股票在未来特定时刻的价格服从对数正态分布。