沉默的舞台剧

计算几何05_B样条曲线

首先我们应该来了解一下为什么要有B样条曲线，主要原因是因为Bezier曲线的不足：

1.确定了控制多边形的顶点个数，也就确定了曲线的次数；
2.控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差；
3.曲线不能局部修改，调整某一控制点将影响到整条曲线，原因是伯恩斯坦基函数在整个[0,1]区间内有支撑，所以曲线在区间内任何一点的值都将受到全部顶点的影响，调整任何控制点的位置，将会引起整条曲线的改变；
4.Bezier曲线的拼接比较复杂。

为了保留Bezier方法的优点，仍采用控制顶点定义曲线。改用B样条基函数代替伯恩斯坦基函数。舍恩伯格指出，B样条具有局部支撑性质。B样条基函数是多项式样条空间具有最小支撑的一组基函数，故也被称之为基本样条（Basis Spline），简称B样条（B-Spline）。

一、 B样条的递推定义

B样条的递推定义，常用de Boor-Cox递推公式如下：

具体的参数解释如下：

从上式中我们可以看出其通式符合递归条件，如下图基函数生成过程的三角阵列中所示；

举例如下：

1.1 零次B样条

当k=0时，由式可以直接给出零次B样条。

具体图形表示如下：

可以看出,零次B样条基函数Fi,o(t)在其定义区间上形状为一水平直线段。只在一个区间[ti,ti+i]上不为零,在其他子区间均为零。Fi,o(t)称为平台函数。

1.2 一次B样条

由Fi,o(t)移位，得到：

且根据公式：

结合以上两式，得：

图形表达上式如下：

1.3 二次B样条

二次B样条表达如下：

其计算过程：

其计算过程：

图形表达上式如下：

1.4 三次B样条

三次B样条表达如下

其计算过程：

带入，得：

图形表达上式如下：

1.5 B样条基函数性质

1.6 B样条基函数算法

1.6.1 代码实现

//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
double BasisFunctionValue(double t, int i, int k)
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

二、B样条曲线

2.1 B样条曲线定义

B样条曲线的数学定义为:

具体详释：

尤为注意的是：

B样条有三大要素：节点，控制点，阶次。
其中B样条曲线所对应的节点向量区间：u[uk-1,un+1]
其具体定义理解可参照B站教程：计算机图形学bezier曲线曲面B样条曲线曲面

根据节点向量中节点的分布可以将B样条曲线分为以下四类：均匀B样条曲线、准均匀B样条曲线、分段Bezier曲线和非均匀B样条曲线。

2.2 均匀B样条曲线

2.2.1 二次均匀B样条曲线

二次均匀B样条曲线的几何意义,如下图：

2.2.1.1 代码实现

CP2 P[6];//控制点
double knot[9];//节点数组
int n;//控制点数-1
int k;//次数
    
CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=-0.5,knot[1]=-0.25,knot[2]=0.0,knot[3]=0.25,knot[4]=0.5,knot[5]=0.75;//均匀二次B样条
	knot[6]= 1.0,knot[7]= 1.25,knot[8]= 1.5;
	n=5,k=2;
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}
void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.05;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0,0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

2.2.2 三次均匀B样条曲线

三次均匀B样条曲线的几何意义,如下图：

2.2.2.1 代码实现

CP2 P[6];//控制点
double knot[11];//节点数组
int n;//控制点数-1
int k;//次数
    
CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=-3/3.0,knot[1]=-2/3.0,knot[2]=-1/3.0,knot[3]=0.0,knot[4]=1/3.0,knot[5]=2/3.0;//均匀三次B样条
	knot[6]=1.0,knot[7]= 4/3.0,knot[8]= 5/3.0,knot[9]=6/3.0;
	n=5,k=3;		
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);	
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

2.2.3 均匀B样条曲线灵活性

1.二重顶点
在曲线设计中，若要使B样条曲线与控制多边形的边相切，可使用二重点方法，如图所示。
2.三重顶点
要想在曲线中出现尖点，可使用三重点方法，如图所示。

3.三顶点共线
当三个顶点共线时，△P1P2P3退化为一段直线。可用于处理两段弧的相接。

4.四顶点共线
当四个顶点共线时，控制多边形P1P2P3 P4退化为一段直线，相应的B样条曲线段也退化为一段直线，可用于处理两段曲线之间接入一段直线的问题。

当控制多边形的首末端点全部为三重点，这可以使三次均匀B样条曲线过控制多边形的首末端点。

2.3 准均匀B样条曲线

均匀B样条的特点是节点等距分布，由各节点形成的B样条相同，可视为同一B样条的简单平移。均匀B样条基函数在[0, 1]区间上具有统一的表达式，使得计算与处理简单方便。一般情况下，应用均匀B样条可以获得满意的效果，而且计算效率高。但均匀B样条曲线有一个缺点，即未保留Bezier曲线的端点几何性质。曲线的首末端点不再是控制多边形的首末顶点。准均匀B样条曲线就是为了解决这个问题而提出的，目的是对曲线在端点的行为进行控制。

k次准均匀B样条曲线的节点矢量中，两端节点具有重复度k + 1，所有内节点呈均匀分布。因此，准均匀B样条曲线具有同次Bezier曲线的端点几何性质。两端节点k + 1重复度的出现，导致准均匀B样条曲线在计算与处理上，要比均匀B样条曲线复杂得多。实践中，是选择均匀B样条曲线还是选择准均匀B样条曲线，是需要斟酌的。

2.3.1 二次准均匀B样条曲线

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=0,knot[1]=0,knot[2]=0,knot[3]=1/4.0,knot[4]=2/4.0,knot[5]=3/4.0;//准均匀二次均匀B样条
	knot[6]=1,knot[7]=1,knot[8]=1;
	n=5,k=2;
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);	
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

2.3.1 三次准均匀B样条曲线

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=0,knot[1]=0,knot[2]=0,knot[3]=0,knot[4]=1/3.0,knot[5]=2/3.0;//准均匀三次均匀B样条
	knot[6]=1,knot[7]=1,knot[8]=1,knot[9]=1;
	n=5,k=3;		
	P[0].x=-460,  P[0].y=-49;
	P[1].x=-355,  P[1].y=204;
	P[2].x= -63,  P[2].y=241;
	P[3].x= 66,   P[3].y=-117;
	P[4].x= 264,  P[4].y=-101;
	P[5].x= 400,  P[5].y=208;
}
void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

2.4 分段Bezier曲线

分段Bezier是B样条曲线的一种特殊类型，是一组顺序首尾相接且同为k次的Bezier曲线。在STEP中是这样来表示的：节点矢量中首末端节点重复度取成k + 1，所有内节点取成重复度k。选用分段Bezier曲线有个限制条件：控制顶点数减1必须是次数的整数倍，即n/k = 正整数；否则不能生成曲线。即使满足整数倍要求，所生成的分段Bezier曲线在连接点处也只能达到C1连续性。分段Bezier的主要用途之一，就是把几何连续的分段多项式曲线统一采用B样条表示。

2.4.1 代码实现

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	knot[0]=0.0,knot[1]=0.0,knot[2]=0.0,knot[3]=0.0,knot[4]=0.5,knot[5]=0.5;//分段三次Bezier
	knot[6]=0.5,knot[7]=1.0,knot[8]=1.0,knot[9]=1.0,knot[10]=1.0;
	n=6,k=3;		
	P[0].x=-319,  P[0].y=-14;
	P[1].x=-269,  P[1].y=202;
	P[2].x= -61,  P[2].y=198;
	P[3].x= -32,  P[3].y=13;
	P[4].x= 54,   P[4].y=-116;
	P[5].x= 253,  P[5].y=-76;
	P[6].x= 296,  P[6].y=66;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if (k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

2.5 非均匀B样条曲线

与其他类型的B样条曲线不同的是，给定控制点Pi, i = 0, 1,…, n，欲定义一条k次非均匀B样条曲线，还必须计算节点矢量中具体的节点值。利用曲线的分段连接点与控制多边形的边对应关系，可以自动计算节点矢量。常用的算法有Hartley-Judd算法。

2.5.1 Hartley-Judd算法

1978年，Hartley和Judd认为应该根据曲线的连续性，分别考察每个控制多边形的k条边的和，然后再予以规范化。这就是Hartley-Judd算法。定义域内节点区间长度按下式计算：

2.5.2 代码实现

CGeometricfiguretestView::CGeometricfiguretestView()
{
	// TODO: add construction code here
	n=4; k=2;		
	P[0].x=-200,  P[0].y=100;
	P[1].x=-150,  P[1].y=-100;
	P[2].x=0,     P[2].y=250;
	P[3].x=150,   P[3].y=-100;
	P[4].x=200,   P[4].y=100;
}

void CGeometricfiguretestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
	CTestDoc* pDoc = GetDocument();
	ASSERT_VALID(pDoc);
	if (!pDoc)
		return;
	// TODO: add draw code for native data here
	CRect rect;//定义矩形
	GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
	pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
	pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
	pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
	pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
	GetKnotVector();
	DrawBSplineCurve(pDC);
	DrawControlPolygon(pDC);
}

void CGeometricfiguretestView::GetKnotVector()// Hartley-Judd方法获取节点值
{
   for(int i=0;i<=k;i++) //小于次数k的节点值为0
      knot[i]=0.0;
   for(int i=n+1;i<=n+k+1;i++)//大于n的节点值为1
       knot[i]=1.0;
   //计算n-k个内节点
   for(int i=k+1;i<=n;i++)
   {
	   double sum=0.0;
	   for(int j=k+1;j<=i;j++)//公式（5-24）
	   { 
		   double numerator=0.0;//计算分子
		   for(int loop=j-k;loop<=j-1;loop++)
		   {
			   numerator+=sqrt((P[loop].x-P[loop-1].x)*(P[loop].x-P[loop-1].x)+(P[loop].y-P[loop-1].y)*(P[loop].y-P[loop-1].y));//计算两个点之间的距离
		   }
		   double denominator=0.0;//计算分母
		   for(int loop1=k+1;loop1<=n+1;loop1++)
		   {
			   for(int loop2=loop1-k;loop2<=loop1-1;loop2++)
			   {
				   denominator+=sqrt((P[loop2].x-P[loop2-1].x)*(P[loop2].x-P[loop2-1].x)+(P[loop2].y-P[loop2-1].y)*(P[loop2].y-P[loop2-1].y));//计算两个点之间的距离
				}
		   }	
		   sum+=numerator/denominator;//计算节点值
	   } 
       knot[i]=sum;
   }
}

void CGeometricfiguretestView::DrawBSplineCurve(CDC* pDC)//绘制B样条曲线
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//曲线颜色
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	double tStep=0.01;
    for(double t=0.0;t<=1.0;t+=tStep)
	{	
		CP2 p(0.0,0.0);
	   	for(int i=0;i<=n;i++)
		{
			double BValue=BasisFunctionValue(t,i,k);			
			p+=P[i]*BValue;//B样条曲线定义
		}
		if(0.0==t)
			pDC->MoveTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
		else
			pDC->LineTo(ROUND(p.x),ROUND(p.y));
	}  
	pDC->SelectObject(pOldPen);
	NewPen.DeleteObject();
}

void CGeometricfiguretestView::DrawControlPolygon(CDC* pDC)//绘制控制多边形
{
	CPen NewPen,*pOldPen;
	NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
	pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
	CBrush NewBrush,*pOldBrush;
	NewBrush.CreateSolidBrush(RGB(0,0,0));
	pOldBrush=pDC->SelectObject(&NewBrush);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(0==i)
		{
			pDC->MoveTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
		else
		{
			pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));
			pDC->Ellipse(ROUND(P[i].x)-5,ROUND(P[i].y)-5,ROUND(P[i].x)+5,ROUND(P[i].y)+5);
		}
	}
	pDC->SelectObject(pOldBrush);
	pDC->SelectObject(pOldPen);
}

double CGeometricfiguretestView::BasisFunctionValue(double t, int i, int k)//根据参数t值和次数k与节点矢量knot，计算第i个k次的B样条基函数
{
	double value1,value2,value;
	if(k==0)
	{
		if(t>=knot[i] && t<knot[i+1])
			return 1.0;
		else
			return 0.0;
	}
	if(k>0)
	{
		if(t<knot[i]||t>knot[i+k+1])
			return 0.0;
		else
		{
			double coffcient1,coffcient2;//凸组合系数1，凸组合系数2
			double denominator=0.0;//分母
			denominator=knot[i+k]-knot[i];//递推公式第一项分母
			if(denominator==0.0)//约定0/0
				coffcient1=0.0;
			else
				coffcient1=(t-knot[i])/denominator;
			denominator=knot[i+k+1]-knot[i+1];//递推公式第二项分母
			if(0.0==denominator)//约定0/0
				coffcient2=0.0;
			else
				coffcient2=(knot[i+k+1]-t)/denominator;
			value1=coffcient1*BasisFunctionValue(t,i,k-1);//递推公式第一项的值
			value2=coffcient2*BasisFunctionValue(t,i+1,k-1);//递推公式第二项的值
			value=value1+value2;//基函数的值
		}
	}
	return value;
}

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计算机视觉未来的走向人工智能技术与咨询计算机视觉人工智能
计算机视觉（ComputerVision）是一门研究如何让计算机能够理解和分析数字图像或视频的学科。简单来说，计算机视觉的目标是让计算机能够像人类一样对视觉信息进行处理和理解。为实现这个目标，计算机视觉结合了图像处理、机器学习、模式识别、计算几何等多个领域的理论和技术。计算机视觉在许多领域和行业中具有广泛应用，如自动驾驶、医疗影像分析、无人机、智能监控、虚拟现实（VR）和增强现实（AR）等。随着深
自动驾驶 | 决策规划岗位校招面试中常见的数学方法整理 CHH3213 数学工作自动驾驶面试人工智能 c++决策规划数学
文章目录前言计算几何学求解方程的根无约束优化——求解函数极值前言前段时间，我mentor面试了一个决策规划方向实习的候选人，这个候选人是我母校的学生，算是我的学弟，跟我一个专业，他的老师是我学院的院长，所以我一开始抱着比较大的期待，在一边旁听面试过程了。面试下来后，比较可惜，感觉这位学弟，对面试还是太过生疏了。。总结来讲主要是两点：对自己的项目过程并不是非常了解，有几个地方直接被我mentor问倒
自动驾驶轨迹规划之碰撞检测（一）无意2121 自动驾驶轨迹规划算法自动驾驶算法机器人
欢迎大家关注我的B站：偷吃薯片的Zheng同学的个人空间-偷吃薯片的Zheng同学个人主页-哔哩哔哩视频(bilibili.com)目录1.碰撞检测的意义2.安全走廊3计算几何4AABB与OBB1.碰撞检测的意义对于自动驾驶汽车或机器人的路径规划，碰撞检测是其中非常重要的一个模块，因为碰撞检测不仅仍然是路径规划中的主要计算负担，而且还会影响与路径规划安全相关的准确性，这是两个难以平衡的关键指标。同
枚举的构造函数中抛出异常会怎样 bylijinnan java enum 单例
首先从使用enum实现单例说起。为什么要用enum来实现单例？这篇文章（ http://javarevisited.blogspot.sg/2012/07/why-enum-singleton-are-better-in-java.html）阐述了三个理由： 1.enum单例简单、容易，只需几行代码： public enum Singleton { INSTANCE;
CMake 教程 aigo C++
转自：http://xiang.lf.blog.163.com/blog/static/127733322201481114456136/ CMake是一个跨平台的程序构建工具，比如起自己编写Makefile方便很多。介绍：http://baike.baidu.com/view/1126160.htm 本文件不介绍CMake的基本语法，下面是篇不错的入门教程： http:
cvc-complex-type.2.3: Element 'beans' cannot have character Cb123456 spring Webgis
cvc-complex-type.2.3: Element 'beans' cannot have character Line 33 in XML document from ServletContext resource [/WEB-INF/backend-servlet.xml] is i
jquery实例:随页面滚动条滚动而自动加载内容 120153216 jquery
<script language="javascript"> $(function (){ var i = 4;$(window).bind("scroll", function (event){ //滚动条到网页头部的高度，兼容ie,ff,chrome var top = document.documentElement.s
将数据库中的数据转换成dbs文件何必如此 sql dbs
旗正规则引擎通过数据库配置器（DataBuilder）来管理数据库，无论是Oracle，还是其他主流的数据都支持，操作方式是一样的。旗正规则引擎的数据库配置器是用于编辑数据库结构信息以及管理数据库表数据，并且可以执行SQL 语句，主要功能如下。 1)数据库生成表结构信息：主要生成数据库配置文件(.conf文
在IBATIS中配置SQL语句的IN方式 357029540 ibatis
在使用IBATIS进行SQL语句配置查询时，我们一定会遇到通过IN查询的地方，在使用IN查询时我们可以有两种方式进行配置参数：String和List。具体使用方式如下： 1.String:定义一个String的参数userIds，把这个参数传入IBATIS的sql配置文件，sql语句就可以这样写： <select id="getForms" param
Spring3 MVC 笔记（一） 7454103 spring mvc bean REST JSF
自从 MVC 这个概念提出来之后 struts1.X struts2.X jsf 。。。。。这个view 层的技术一个接一个！都用过！不敢说哪个绝对的强悍！要看业务，和整体的设计！最近公司要求开发个新系统！
Timer与Spring Quartz 定时执行程序 darkranger spring bean 工作 quartz
有时候需要定时触发某一项任务。其实在jdk1.3，java sdk就通过java.util.Timer提供相应的功能。一个简单的例子说明如何使用，很简单： 1、第一步，我们需要建立一项任务，我们的任务需要继承java.util.TimerTask package com.test; import java.text.SimpleDateFormat; import java.util.Date;
大端小端转换，le32_to_cpu 和cpu_to_le32 aijuans C语言相关
大端小端转换，le32_to_cpu 和cpu_to_le32 字节序 http://oss.org.cn/kernel-book/ldd3/ch11s04.html 小心不要假设字节序. PC 存储多字节值是低字节为先(小端为先, 因此是小端), 一些高级的平台以另一种方式(大端)
Nginx负载均衡配置实例详解 avords
[导读] 负载均衡是我们大流量网站要做的一个东西，下面我来给大家介绍在Nginx服务器上进行负载均衡配置方法，希望对有需要的同学有所帮助哦。负载均衡先来简单了解一下什么是负载均衡，单从字面上的意思来理解就可以解负载均衡是我们大流量网站要做的一个东西，下面我来给大家介绍在Nginx服务器上进行负载均衡配置方法，希望对有需要的同学有所帮助哦。负载均衡先来简单了解一下什么是负载均衡
乱说的 houxinyou 框架敏捷开发软件测试
从很久以前，大家就研究框架，开发方法，软件工程，好多！反正我是搞不明白！这两天看好多人研究敏捷模型，瀑布模型！也没太搞明白. 不过感觉和程序开发语言差不多，瀑布就是顺序，敏捷就是循环. 瀑布就是需求、分析、设计、编码、测试一步一步走下来。而敏捷就是按摸块或者说迭代做个循环，第个循环中也一样是需求、分析、设计、编码、测试一步一步走下来。也可以把软件开发理
欣赏的价值——一个小故事 bijian1013 有效辅导欣赏欣赏的价值
　　第一次参加家长会，幼儿园的老师说："您的儿子有多动症，在板凳上连三分钟都坐不了，你最好带他去医院看一看。"　　回家的路上，儿子问她老师都说了些什么，她鼻子一酸，差点流下泪来。因为全班30位小朋友，惟有他表现最差；惟有对他，老师表现出不屑，然而她还在告诉她的儿子："老师表扬你了，说宝宝原来在板凳上坐不了一分钟，现在能坐三分钟。其他妈妈都非常羡慕妈妈，因为全班只有宝宝
包冲突问题的解决方法 bingyingao eclipse maven exclusions 包冲突
包冲突是开发过程中很常见的问题：其表现有： 1.明明在eclipse中能够索引到某个类，运行时却报出找不到类。 2.明明在eclipse中能够索引到某个类的方法，运行时却报出找不到方法。 3.类及方法都有，以正确编译成了.class文件，在本机跑的好好的，发到测试或者正式环境就抛如下异常： java.lang.NoClassDefFoundError: Could not in
【Spark七十五】Spark Streaming整合Flume-NG三之接入log4j bit1129 Stream
先来一段废话：实际工作中，业务系统的日志基本上是使用Log4j写入到日志文件中的，问题的关键之处在于业务日志的格式混乱，这给对日志文件中的日志进行统计分析带来了极大的困难，或者说，基本上无法进行分析，每个人写日志的习惯不同，导致日志行的格式五花八门，最后只能通过grep来查找特定的关键词缩小范围，但是在集群环境下，每个机器去grep一遍，分析一遍，这个效率如何可想之二，大好光阴都浪费在这上面了
sudoku solver in Haskell bookjovi sudoku haskell
这几天没太多的事做，想着用函数式语言来写点实用的程序，像fib和prime之类的就不想提了（就一行代码的事），写什么程序呢？在网上闲逛时发现sudoku游戏，sudoku十几年前就知道了，学生生涯时也想过用C/Java来实现个智能求解，但到最后往往没写成，主要是用C/Java写的话会很麻烦。现在写程序，本人总是有一种思维惯性，总是想把程序写的更紧凑，更精致，代码行数最少，所以现
java apache ftpClient bro_feng java
最近使用apache的ftpclient插件实现ftp下载，遇见几个问题，做如下总结。 1. 上传阻塞，一连串的上传，其中一个就阻塞了，或是用storeFile上传时返回false。查了点资料，说是FTP有主动模式和被动模式。将传出模式修改为被动模式ftp.enterLocalPassiveMode();然后就好了。看了网上相关介绍，对主动模式和被动模式区别还是比较的模糊，不太了解被动模
读《研磨设计模式》-代码笔记-工厂方法模式 bylijinnan java 设计模式
声明：本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ package design.pattern; /* * 工厂方法模式：使一个类的实例化延迟到子类 * 某次，我在工作不知不觉中就用到了工厂方法模式（称为模板方法模式更恰当。2012-10-29）： * 有很多不同的产品，它
面试记录语 chenyu19891124 招聘
或许真的在一个平台上成长成什么样，都必须靠自己去努力。有了好的平台让自己展示，就该好好努力。今天是自己单独一次去面试别人，感觉有点小紧张，说话有点打结。在面试完后写面试情况表，下笔真的好难，尤其是要对面试人的情况说明真的好难。今天面试的是自己同事的同事，现在的这个同事要离职了，介绍了我现在这位同事以前的同事来面试。今天这位求职者面试的是配置管理，期初看了简历觉得应该很适合做配置管理，但是今天面
Fire Workflow 1.0正式版终于发布了 comsci 工作 workflow Google
Fire Workflow 是国内另外一款开源工作流，作者是著名的非也同志，哈哈.... 官方网站是 http://www.fireflow.org 经过大家努力,Fire Workflow 1.0正式版终于发布了正式版主要变化: 1、增加IWorkItem.jumpToEx(...)方法，取消了当前环节和目标环节必须在同一条执行线的限制，使得自由流更加自由 2、增加IT
Python向脚本传参 daizj python 脚本传参
如果想对python脚本传参数，python中对应的argc, argv(c语言的命令行参数)是什么呢？需要模块：sys 参数个数：len(sys.argv) 脚本名： sys.argv[0] 参数1： sys.argv[1] 参数2： sys.argv[
管理用户分组的命令gpasswd dongwei_6688 passwd
NAME： gpasswd - administer the /etc/group file SYNOPSIS： gpasswd group gpasswd -a user group gpasswd -d user group gpasswd -R group gpasswd -r group gpasswd [-A user,...] [-M user,...] g
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Scramble String hcx2013 String
Given a string s1, we may represent it as a binary tree by partitioning it to two non-empty substrings recursively. Below is one possible representation of s1 = "great":
跟我学Shiro目录贴 jinnianshilongnian 跟我学shiro
历经三个月左右时间，《跟我学Shiro》系列教程已经完结，暂时没有需要补充的内容，因此生成PDF版供大家下载。最近项目比较紧，没有时间解答一些疑问，暂时无法回复一些问题，很抱歉，不过可以加群（334194438/348194195）一起讨论问题。 ----广告-----------------------------------------------------
nginx日志切割并使用flume-ng收集日志 liyonghui160com
nginx的日志文件没有rotate功能。如果你不处理，日志文件将变得越来越大，还好我们可以写一个nginx日志切割脚本来自动切割日志文件。第一步就是重命名日志文件，不用担心重命名后nginx找不到日志文件而丢失日志。在你未重新打开原名字的日志文件前，nginx还是会向你重命名的文件写日志，linux是靠文件描述符而不是文件名定位文件。第二步向nginx主
Oracle死锁解决方法 pda158 oracle
　select p.spid,c.object_name,b.session_id,b.oracle_username,b.os_user_name from v$process p,v$session a, v$locked_object b,all_objects c where p.addr=a.paddr and a.process=b.process and c.object_id=b.
java之List排序 shiguanghui list排序
在Java Collection Framework中定义的List实现有Vector，ArrayList和LinkedList。这些集合提供了对对象组的索引访问。他们提供了元素的添加与删除支持。然而，它们并没有内置的元素排序支持。　　你能够使用java.util.Collections类中的sort()方法对List元素进行排序。你既可以给方法传递
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