数学基础课-保研笔记分享

前言

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通用基础-重点

• 初等数学研究对象基本上是不变量，而高等数学研究所向则是变动的量

• 一切初等函数在其定义域内部都是连续的

• 零点定理与介值定理

  • **零点定理：**函数在区间上连续，且左右两侧端点函数值异号，则函数中间必定存在函数值等于0的情况
  • **介值定理（更加广泛）：**函数在区间上连续，则中间必然经过左右两侧的中间值

• 几个重要的“点”

  • 驻点
    • 函数一阶导数为零的点
  • 拐点：函数曲线凹凸性变化的点
    • 求解$f(x{)}^{\prime \prime }=0$，以及$f(x{)}^{\prime \prime }$不存在的点
    • 若$f(x{)}^{\prime \prime }$在上述点左右两侧异号，则是拐点
  • 瑕点（无界间断点）
    • 函数在点$\alpha$的任意一领域内都无界，那么点$\alpha$即为函数的瑕点
  • 聚点（多元函数平面点集的概念）
    • 对于任意给定的$\delta >0$，点P的去心邻域内，总有点集E中的点，则P称为E的聚点
    • 聚点的存在，是为了保证$(x,y)\to (x_0,y_0)$这个过程是可行的
    • 聚点，包括内点和边界点

• 梯度、散度、旋度

  • 梯度算子：$▽=\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k$
  • 标量的梯度是矢量：标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率
  • 矢量的散度是标量：空间任意闭合曲面通量的面积分等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分（散度定理）
  • 矢量的旋度是矢量：矢量场沿任意闭合曲线的环流（线积分）等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量（面积分）（斯托克斯定理）

• 最小二乘法

  • 为了最好地拟合函数，使总的误差平方和最小
  • 所谓二乘就是平方的意思
  • 根据中心极限定理，误差的极限分布为正态分布

• 大数定理与中心极限定理

  • 大数定理：研究的随机现象虽然每次的实验结果不确定，但是在大量重复实验中，又有规律可循，这个规律就是大数定律（偶然中存在着必然）
    • 通俗地说，这个定理就是，在试验条件不变的情况下，重复试验多次，随机事件的频率近似等于它的概率
    • 包括三个大数：伯努利大数、辛钦大数和切比雪夫大数
  • 中心极限定理（正态分布）
    • 很多分布，甚至不同分布的混合分布形式，在极限条件下，最终会变成正态分布，也就是说，正态分布是这些分布的最终归宿
    • 举例：身高、考试成绩、同一批物体的重量等等
    • 在实际生活当中，我们不知道想要研究的对象的真实平均值，标准差之类的统计参数
    • 中心极限定理在理论上保证了我们，可以用只抽样一部分的方法，达到推测研究对象统计参数的目的

• 小概率事件实际不可能发生原理

  • 概率很小的事件，在一次试验中几乎不可能发生

• N-P问题

  • P问题：能在多项式时间内解决的问题
  • NP问题：能在多项式时间内验证的问题

• 数据降维的常用算法

  用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息

  • 奇异值分解(SVD)
  • 主成分分析(PCA)
    • PCA的主要思想是将n维特征映射到k维上，这k维是全新的正交特征也被称为主成分
    • 是在原有n维特征的基础上重新构造出来的k维特征
    • PCA的工作就是从原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴，新的坐标轴的选择与数据本身是密切相关的
    • 通过计算数据矩阵的协方差矩阵，然后得到协方差矩阵的特征值和特征向量，选择特征值最大(即方差最大)的k个特征所对应的特征向量组成的矩阵
    • 这样就可以将数据矩阵转换到新的空间当中，实现数据特征的降维
  • 因子分析(FA)
  • 独立成分分析(ICA)

• 狄利克雷函数

  • 如果自变量是有理数，函数值就取1
  • 无理数的话，函数值就取0

• 标量，向量，矩阵，张量（Tensor）

  • 标量，向量，矩阵，统称为张量
  • 标量（一个点，只有大小，没有方向）就是1维度张量
  • 向量（一条有方向的直线）是2维张量
  • 平面是3维张量，以此类推可以到更高的维度

• 三角函数族的正交性

• 三角函数族内不同频率的函数，在[-π, π]内彼此正交（内积为零）