数字图像处理——频率域图像增强

频率域图像增强

空间域和频率域为我们提供了不同的视角。在空间域中，函数的自变量 (x,y) 被视为二维空间中的一点，数字图像 f(x,y) 即为一个定义在二维空间中的矩形区域上的离散函数；换一个角度，如果将 f(x,y) 视为幅值变化的二维信号，则可以通过某些变换手段（如傅里叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换和小波变换等）在频率域下对它进行分析。

1、频率域滤波——与空间域滤波殊途同归

在很多情况下，频率域滤波和空间域滤波可以视为对同一个图像增强问题的殊途同归的两种解决方法。而在另外一些情况下，有些增强问题更适合在频率域中完成，有些则更适合在空间域中完成。

傅里叶变换提供了一种变换到频率域的手段，由于用傅里叶变化表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换进行重建，不丢失任何信息，因此它可以使我们工作在频率域，而在转换回空间域时不丢失任何信息。

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2、傅里叶变换基础知识

2.1、傅里叶级数

法国数学家傅里叶发现任何周期函数只要满足一定条件（狄利赫里条件）都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数，即以不同频率的正弦和余弦函数的加权和来表示，后世称为傅里叶级数。

对于有限定义域的非周期函数，可以对其进行周期延拓，从而使其在整个扩展定义域上为周期函数，从而也可以展开为傅里叶级数。

1. 傅里叶级数的三角形式

   周期为 T 的函数 f(t) 的三角形式傅里叶级数展开为࿱