hmm前向算法的matlab,隐马尔可夫模型（HMM）的MATLAB实现——前向后向算法

由于研究需要，在网上找了不少关于隐马尔可夫模型的MATLAB程序，可能是没有耐下心去看，总之感觉看懂别人写的程序很费劲，所以就自己动手写了一下。

主要的参考书目是李航的《统计学习方法》，并实现了书中部分例题和习题的解答，关于隐马尔可夫模型的理论知识不再赘述，这方面的经典论文和网上的优秀博客很多，这里介绍两篇经典的论文：

1，Bilmes L,et al. A Gentle Tutorial of EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation for Gaussian Mixture and Hidden Markov Models(1997)

2，Rabiner L. A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition(1989)

下面按照HMM的三个问题：概率计算，参数学习和解码顺序介绍我的代码。

1，概率计算问题--前向后向算法

function [P1,P2,p1] = ForwardBackwardAlgo(A,B,Pi,O)

% 函数功能：前向后向算法，计算alpha值矩阵P1和beta值矩阵P2

%

% 参考文献：李航《统计学习方法》

%

% 思路：

% 给定模型lambda和观测序列O，在时刻t处于状态qi的概率，记做

% gamma_t(i) = P(it = qi|O,lambda) = P(it = qi,O|lambda) / P(O|lambda)

% P(it = qi,O|lambda) = alpha_t(i) * beta_t(i)

% 在这里，alpha矩阵表示前向概率矩阵，放在矩阵P1中，且为i*t阶

% beta矩阵表示后向概率矩阵，放在矩阵P2中，且为i*t阶

%

% 输入：隐马尔可夫模型lambda(A,B,Pi)，观测序列O；

% 其中A为转移概率，B为观测概率(行数表示状态集合中的元的个数，列数表示观测集中的元的个数)；

% Pi为初始概率，P为1*2阶矩阵，存放所求概率P(it = qi,O|lambda)中it和qi的角标t和i，即P=[t,i]

% 【！！注意：初始概率Pi、观测序列O以及矩阵P均须为列矩阵】

% 输出：P1:alpha值构成的矩阵，为i*t阶

% P2:beta值构成的矩阵，为i*t阶

% p1:观测序列概率P(O|lambda)

%

% 示例：(李航《统计学虚方法》P188习题10.1)

% 输入：

% A1 =

% 0.5000 0.1000 0.4000

% 0.3000 0.5000 0.2000

% 0.2000 0.2000 0.6000

% B1 =

% 0.5000 0.5000

% 0.4000 0.6000

% 0.7000 0.3000

% Pi =

% 0.2000

% 0.3000

% 0.5000

% O =

% 1

% 2

% 1

% 2

% 输出

% P1 =

% 0.1000 0.0770 0.0419 0.0211

% 0.1600 0.1104 0.0355 0.0252

% 0.2800 0.0606 0.0528 0.0138

% P2 =

% 0.1125 0.2461 0.4600 1.0000

% 0.1217 0.2312 0.5100 1.0000

% 0.1049 0.2577 0.4300 1.0000

% p1 =

% 0.0601

alpha_1 = zeros();

sum_alpha_j = zeros();

sum_beta_i = zeros();

% sum_p = zeros();

P1 = zeros();

A_size = size(A);

O_size = size(O);

N = A_size(1,1);

M = A_size(1,2);

K = O_size(1,1);

P2 = zeros(N,K);

% ---------------前向算法---------------

%求解初值

for i = 1:N

alpha_1(i,1) = Pi(i,1) * B(i,O(1,1));

end

P1= alpha_1;

%递推求解前向概率,存放在矩阵P1中

for k = 1:K-1

for j = 1:M

for i = 1:N

sum_alpha_j(i,1) = P1(i,k) .* A(i,j);

end

P1(j,k+1) = sum(sum_alpha_j) .* B(j,O(k+1,1));

end

end

%计算观测概率P(O|lambda)

p1 = sum(P1(:,K));

% ----------------后向算法---------------

% 对最终时刻所有状态有beta_T(i) = 1

P2(:,K) = 1;

% 递推求解后向概率，存放在矩阵P2中

for k = K-1:-1:1

for i = 1:M

for j = 1:N

sum_beta_i(j,1) = A(i,j) .* B(j,O(k+1,1)) .* P2(j,k+1);

end

P2(i,k) = sum(sum_beta_i);

end

end

上述程序中的例子用的是后向概率的算法，程序中前向算法和后向算法可以单独拿出来进行计算，另外，李航《统计学习方法》中P189的习题10.2也可以计算得到，

其代码中调用上述程序函数，代码如下：

function [p1,p2] = ForwardBackwardAppli(A,B,Pi,O,P)

% 函数功能：前向后向算法应用，计算P(it = qi|O,lambda)

%

% 参考文献：李航《统计学习方法》

%

% 思路：

% 给定模型lambda和观测序列O，在时刻t处于状态qi的概率，记做

% gamma_t(i) = P(it = qi|O,lambda) = P(it = qi,O|lambda) / P(O|lambda)

% P(it = qi,O|lambda) = alpha_t(i) * beta_t(i)

% 在这里，alpha矩阵表示前向概率矩阵，放在矩阵P1中，且为i*t阶

% beta矩阵表示后向概率矩阵，放在矩阵P2中，且为i*t阶

%

% 输入：隐马尔可夫模型lambda(A,B,Pi)，观测序列O；

% 其中A为转移概率，B为观测概率(行数表示状态集合中的元的个数，列数表示观测集中的元的个数)，Pi为初始概率；

% P为1*2阶矩阵，存放所求概率P(it = qi,O|lambda)中it和qi的角标t和i，即P=[t,i]

% 【！！注意：初始概率Pi、观测序列O以及矩阵P均须为列矩阵】

% 输出：p1:观测序列概率P(O|lambda)

% p2:所求概率P(it = qi|O,lambda)

%

% 示例：(李航《统计学习方法》P189习题10.2)

% 输入：

% A1 =

% 0.5000 0.1000 0.4000

% 0.3000 0.5000 0.2000

% 0.2000 0.2000 0.6000

% B1 =

% 0.5000 0.5000

% 0.4000 0.6000

% 0.7000 0.3000

% Pi =

% 0.2000

% 0.3000

% 0.5000

% O3 =

% 1

% 2

% 1

% 1

% 2

% 1

% 2

% 2

% P =

% 4

% 3

% 输出

% [a7,b7] = ForwardBackwardAlgo(A1,B1,Pi,O3,P)

% a7 =

% 0.0035

% b7 =

% 0.5370

P1 = zeros();

A_size = size(A);

O_size = size(O);

N = A_size(1,1);

M = A_size(1,2);

K = O_size(1,1);

P2 = zeros(N,K);

% 调用函数前向后向算法ForwardBackwardAlgo_1，计算得到alpha矩阵P1，beta矩阵P2观测序列O的概率p1

[P1,P2,p1] = ForwardBackwardAlgo(A,B,Pi,O);

% 计算所求值

p2 = P1(P(2,1),P(1,1)) * P2(P(2,1),P(1,1)) / p1;

下一篇介绍参数学习的Baum-Welch算法程序。