不定积分24个基本公式_2021考研数学 高数第四章 不定积分

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目录

  • 目录
  • 1. 背景
  • 1. 不定积分的概念与性质
    • 1.1. 不定积分
    • 1.2. 原函数存在定理
    • 1.3. 不定积分的性质
  • 2. 不定积分基本公式
  • 3. 三种主要积分法
    • 3.1. 第一换元积分法
    • 3.2. 第二换元积分法
    • 3.3. 分部积分法
  • 4. 三类常见可积函数积分
    • 4.1. 有理函数
    • 4.2. 三角有理式积分
    • 4.3. 简单无理函数积分
  • 5. 总结

1. 背景

前段时间复习完了高数第四章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

1. 不定积分的概念与性质

1.1. 不定积分

  • 定义

的原函数的全体成为
的不定积分,记为
.

如果

的一个原函数,则有

其中

为任意常数

1.2. 原函数存在定理

  • 证明存在的定理

在区间
上连续,则
在区间
上一定存在原函数
  • 证明不存在的定理

在区间
上有第一类间断点,则
在区间
上没有原函数

1.3. 不定积分的性质


2. 不定积分基本公式


  • 证明4.17: 凑微分法



  • 证明4.21: 第二类换元法,令


  • 证明4.22: 第二类换元法,令


  • 证明4.23: 凑微分法

  • 证明4.24: 凑微分法


3. 三种主要积分法

3.1. 第一换元积分法

  • 定理
    ,
    存在连续导数,则

3.2. 第二换元积分法

  • 定理
    是单调的、可导的函数,并且
    ,又

:式中对

求导的部分容易被遗漏
  • 常用的三种变量代换
  1. 被积函数含有
    ,令
    (或
    ).
  2. 被积函数含有
    ,令
    .
  3. 被积函数含有
    ,令
    .

3.3. 分部积分法

  • 分部积分公式

  • 分部积分法中
    的选取
  1. 把多项式以外的函数凑进微分号,因为对多项式求导若干次后能够将其化为常数项

  1. 把指数函数或三角函数凑进微分号都可以,但把指数凑进去更简单

  1. 把多项式凑进微分号,多项式以外的函数方便求导,不方便积分


4. 三类常见可积函数积分

4.1. 有理函数

  • 有理函数积分
  1. 一般方法(部分分式法)
  2. 特殊方法(加项减项拆或凑微分降幂)

4.2. 三角有理式积分

  • 三角有理式积分
  1. 一般方法(万能代换)令
    .

  1. 特殊方法(三角变形,换元,分解)
  • 几种常用的换元法
  1. ,则令
    ,或凑
    .
  2. ,则令
    ,或凑
    .
  3. ,则令
    ,或凑
    .

4.3. 简单无理函数积分

  • 简单无理函数积分

,将其转化为有理函数积分进行计算

5. 总结

  • 两个概念
    • 原函数
    • 不定积分
  • 三种方法
    • 第一类换元法
    • 第二类换元法
    • 分部积分法
  • 三种形式
    • 有理函数
    • 三角有理式
    • 简单无理函数

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