PRML读书会第八章 Graphical Models

今天的内容主要是：

1.贝叶斯网络和马尔科夫随机场的概念，联合概率分解，条件独立表示；2.图的概率推断inference。

图模型是用图的方式表示概率推理 ，将概率模型可视化，方便展示变量之间的关系，概率图分为有向图和无向图。有向图主要是贝叶斯网络，无向图主要是马尔科夫随机场。对两类图，prml都讲了如何将联合概率分解为条件概率，以及如何表示和判断条件依赖。
先说贝叶斯网络，贝叶斯网络是有向图，用节点表示随机变量，用箭头表示变量之间的依赖关系。一个例子:

这是一个有向无环图，这个图表示的概率模型如下:
p(x1,x2,...x7)= 形式化一下，贝叶斯网络表示的联合分布是：
 

其中是xk的所有父节点。

以上是贝叶斯网络将联合概率分解为条件概率的方法，比较直观易懂，就不多说了。下面说一下条件独立的表示和判断方法。条件独立是，给定a,b,c三个节点，如果p(a,b|c)=p(a|c)p(b|c)，则说给定c，a和b条件独立。当然 a, b, c也可以是三组节点，这里只以单个节点为例。用图表示，有三种情况 。
第一种情况如图：

c位于两个箭头的尾部，称作tail-to-tail，这种情况，c未知的时候，a，b是不独立的。c已知的时候，a,b条件独立。来看为什么，首先，这个图联合概率如下：
在c未知的时候,p(a,b)如下求解:

可以看出，无法得出:p(a,b)=p(a)p(b)，所以a,b不独立。
如果c已知，则：

所以a,b条件独立于c。条件独立用以下符号表示：

a,b不独立的符号表示:：

这是图表示的条件独立的第一种形式，叫做tail-to-tail。第二种是tail-to-head，如图：

这种情况也是c未知时，a和b不独立。c已知时，a和b条件独立于c，推导如下：

第三种情况是head-to-head，如图：

这种情况反过来了，c未知时，a和b是独立的；但当c已知时，a和b不满足条件独立，
因为：
计算该概率的边界概率，得

所以a和b相互独立.
但c已知时：

无法得到p(a,b|c)=p(a|c)p(b|c)
将这三种情况总结，就是贝叶斯网络的一个重要概念，D-separation，这个概念的内容就是:
A,B,C三组节点，如果A中的任意节点与B的任意节点的所有路径上，存在以下节点，就说A和B被C阻断:
1, A到B的路径上存在tail-to-tail或head-to-tail形式的节点，并且该节点属于C
2. 路径上存在head-to-head的节点，并且该节点不属于C
举个例子：

左边图上，节点f和节点e都不是d-separation.因为f是tail-to-tail，但f不是已知的，因此f不属于C.
e是head-to-head，但e的子节点c是已知的，所以e也不属于C。
speedmancs 19:23:05
2漏了一点，该节点包括所有后继
网神(66707180) 19:23:21
右边图，f和e都是d-separation.理由与上面相反.对，是漏了这一点。看到这个例子才想起来，这部分大家有什么问题没？
speedmancs 19:24:54
这个还是抽象了一些，我之前看的prml这一章，没看懂，后来看了PGM前三章，主要看了那个学生成绩的那个例子，就明白了。姑妄记之，其实蛮不好记的。讲得挺好的，继续。
网神(66707180) 19:27:14
因为有了这些条件独立的规则，可以将图理解成一个filter。
既给定一系列随机变量，其联合分布p(x1,x2...,xn)理论上可以分解成各种条件分布的乘积，但过一遍图，不满足图表示依赖关系和条件独立的分布就被过滤掉。所以图模型，用不同随机变量的连接表示各种关系，可以表示复杂的分布模型。
接下来是马尔科夫随机场，是无向图，也叫马尔科夫网络，马尔科夫网络也有条件独立属性。
用MRF(malkov random field)表示马尔科夫网络，MRF因为是无向的，所以不存在tail-to-tail这些概念。MRF的条件独立如图：

如果A的任意节点和B的任意节点的任意路径上，都存在至少一个节点属于C
speedmancs 19:33:16
无向图的条件独立 比有向图简单多了。
网神(66707180) 19:33:18
那么A和B条件独立于C，可以理解为，如果C的节点都是已知的，就阻断了A和B的所有路径。
网神(66707180) 19:33:49
嗯，MRF的 概率分解就概念比较多了，不像有向图那么直观，MRF联合概率分解成条件概率。用到了clique的概念，我翻译成"团"，就是图的一个子图，子图上两两节点都有连接. 例如这个图，最大团有两个，分别是(x1,x2,x3)和(x2,x3,x4)：

MRF的联合概率分解另一个概念是potential function，联合概率分解成一系列potential函数的乘积:
 

是一个最大团的所有节点，一个potential函数，是最大团的一个函数.
这个函数具体的定义是依赖具体应用的，一会举个例子.
上面式子里那个Z是normalization常量：

speedmancs 19:42:47
这个Z很麻烦
网神(66707180) 19:43:15
在这个式子里，p(x)是一系列potential函数的乘积。换一种理解方式，定义将potential函数表示成指数函数:

这样p(x)就可以表示成一系列E(Xc)的和的指数函数，E(Xc)叫做能量函数，这么转换之后，可以将图理解成一个能量的集合，他的值等于各个最大团的能量的和.先举个例子看看potential函数和能量函数在具体应用中是什么样的，大家再讨论。
要把噪声图片尽量还原成 原图，用图的方式表示噪声图和还原后的图，每个像素点是一个节点:

上面那层Yi，是噪声图，紫色表示这些是已知的，是观察值。下面那层Xi是未知的，要求出Xi，使Xi作为像素值得到的图，尽量接近无噪声图片。每个xi的值，与yi相关，也与相邻的xj相关。这里边，最大团是(xi, yi)和(xi, xj)，两类最大团。
对于(xi, yi)，选择能量函数E(xi,yi)=；对于(xi,xj)，选择能量函数E(xi, xj)=
两个能量函数的意思都是，如果xi和yi (或xi和xj)的值相同，则能量小；如果不同，则能量大.
整个图的能量如下：
 

是一个偏置项
speedmancs 19:56:55
偏置项是一种先验吧
网神(66707180) 19:57:28
有了这个能量函数，接下来就是求出Xi，使得能量E(x,y)最小。求最小，书上简单说了一下，我的理解也是用梯度下降类似的方法。
speedmancs 19:57:34
这里表示-1的点更多吧。
网神(66707180) 19:58:20
对偏执项的作用，书上这么解释：Such a term has the effect of biasing the model towards pixel values that have one particular sign in preference to the other.
speedmancs 19:59:29
恩，对，让能量最小
网神(66707180) 19:59:39

为了使E(x,y)尽量小，是尽量让xi选择-1，而不是1。E(x,y)越小，得到的图就越接近无噪声的图，因为：

所以E(x,y)越小，p(x,y)就越大。
η 20:01:13
是不是可以这样看，表示平滑；表示似然。
网神(66707180) 20:02:18
liyitan2144说得好，
speedmancs 20:02:33
恩，所以这是一个 产生式模型。
网神(66707180) 20:02:59
有向图和无向图的概率分解 和 条件独立 都说完了.有向图和无向图是可以互相转换的，有向图转换成无向图，如果每个节点都只有少于等于1个父节点，比较简单。如果有超过1个父节点，就需要在转换之后的无向图上增加一些边，来避免都是有向图上的一些关系，这部分就不细说了。
下面要说图的inference了。前面大家有啥要讨论的？先讨论一下吧。

============================讨论=================================

speedmancs 20:06:45
刚才那个例子中，那几个beta, h等参数如何得到？
网神(66707180) 20:07:30
那个是用迭代求解的方法，求得这几个参数，书上提到了两种方法，一种ICM,iterated conditional modes
一种max-product方法，其中max-product方法效果比较好,在后面的inference一节里详细讲了这个方法，而ICM方法只是提了一下，原理没有细说.两种方法的效果看下图,左边是ICM的结果，右边是max-product的方法：
 

speedmancs 20:15:07
稍微插一句，刚才那个denoise的例子，最好的那个结果是graph cut，而且那几个beta参数是事先固定了。
η 20:16:12
graph cut是指？
kxkr 20:16:30
kxkr 20:17:18
 

网神(66707180) 20:18:11
这个例子只是为了说明能量函数和潜函数.所以不一定是最佳方法，这两段截屏是prml上的，咋没看到捏
kxkr 20:19:05
那几个参数如何得到 文中好像并没有说，只是说了ICM、graph-cut能够得到最后的去噪图像，第一段 在 figure8.30，第二个截图在 section8.4，figure8.32下面。
网神(66707180) 20:20:15
看到了，先不管这个吧，主要知道能量函数是啥样的就行了
kxkr 20:21:25
嗯

========================讨论结束==============f===================

网神(66707180) 20:22:24

接着说inference了，inference就是已知一些变量的值，求另一些变量的概率

比如上图，已知y，求x的概率
这个简单的图可以用典型的贝叶斯法则来求

对于复杂点的情况，比如链式图：

为了求p(xn)，就是求xn的边界概率。这里都假设x的值是离散的。如果是连续的，就是积分，为了求这个边界概率，做这个累加动作，如果x的取值是k个，则要做k的(N-1)次方次计算，利用图结构，可以简化计算，这个简化方法就不讲了。
下面讲通用的图inference的方法，就是factor graph方法，链式图或树形图，都比较好求边界概率。
所以factor graph就是把复杂的图转换成树形图，针对树形图来求.先说一下什么是树形图，树形图有两种情况：
1. 每个节点只有一个父节点。
2. 如果有的节点有多个父节点，必须图上每个节点之间只有一条路径。
这是树形图的三种情况：

 

对于无向图，只要无环，都可以看做树形图；对于有向图，必须每两个节点之间只有一条路径；中间那种是典型的树.右边那种多个有多个节点的叫polytree。
这种书结构的图，都比较好求边界概率. 具体怎么求，就不说了。
这里主要说怎么把复杂的图转换成树形图.，这种转换引入factor节点，从而将普通的图转换成factor图.
先看个例子：

对于这个有向图，p(x1,x2,x3)=p(x1)p(x2|x1)p(x3|x1,x2)，等号右边的三个概率作为三个factor
每个factor作为一个节点，加入新的factor图中：

上面的x1,x2,x3是原图的随机变量 ，下面的fa,fb,fc,fd是factor节点，只有随即变量节点和factor节点之间有连接，每类节点自身互不连接，每个factor连接的变量节点，是相互依赖的节点。
kxkr 20:42:10
就是一个clique中的节点吧
网神(66707180) 20:42:19
对，严格的说，也不是。
kxkr 20:44:15
对于有向图 ？

网神(66707180) 20:45:10
x1,x2,x3是一个最大团. 可以只用一个factor节点，如中间那个图
kxkr 20:45:17
嗯
网神(66707180) 20:45:22
也可以用多个factor节点，如右边图，但什么情况下用一个factor什么情况用多个factor，我没想明白
kxkr 20:47:10
嗯，继续
网神(66707180) 20:47:21
转换成factor图后，就是树形图了，符合前面树形图的两种情况，这时候，要求一个节点或一组节点的边界概率，用一种叫做sum-product的方法，已求一个节点的边界概率为例.
η 20:49:50
虽然也对具体的应用情景不清楚，但是一个factor能表达的信息比使用多个factor能表达的信息多.
网神(66707180) 20:51:06
单个的factor表达的信息多，而且节点越少，计算越简单，所以是不是尽量用少的factor？max-product求单个节点的边界概率，其思想是以该节点为root。
η 20:52:38
但是，从设计模型的角度看，节点少了，一个节点设计的复杂程度就大了，不一定容易设计，拆解成多个factor，每个factor都很简单，设计方便。
kxkr 20:54:37
文中貌似倾向于一个单个的factor
η 20:56:57
这貌似是在表达一个通用的方法，和是把大的clique的factor拆解成小的多个factor没有关系。
kxkr 20:57:53
拆成多个factor是不是会造成参数变多，不容易求呢，继续吧，这个有待实践。η 21:00:00
参数应该会变多吧，不过模型其实简单了，确实有待实践，我觉得这和具体应用有关，比如在一副图像里面，如果仅仅表达"像素"的相似度，我们完全可以使用小factor。
网神(66707180) 21:00:39
我继续，prml这章图模型只讲了基础的概念，没讲常用的图模型实例，HMM和CRF这两大主流图模型方法还没讲，感觉不够直观.

我继续说inference. 转换成factor图后，求节点xi的边缘概率。把xi作为root节点,把求root边界概率理解成一个信息(message)传递的过程，从叶子节点传递概率信息到root节点.传递的规则是：
从叶子节点开始，如果叶子是变量节点，发送1给父节点,如果叶子是factor节点，发送f(x)给父节点.
对于非叶子节点，如果是变量节点，将其收到的message相乘，发给父节点，如果是factor节点，将其收到的message和自身f(x)相乘，然后做一个sum，发给父节点。
举个例子：

这个图中求x3的边缘概率，message传递的过程是:

中的表示从节点x1传递到fa，最后p(x3)是等于，因为只有一个fb节点向其传入信息，如果要求x2的边界概率,因为x2有三个节点出入信息,分别是：

所以p(x2)就等于这三个信息的乘积

这个结果与边界分布的定义是相符的，x2的边界定义如下：

通过这个，可以推导出上面的边界分布. 推导如下：
 

上面就是用sum-product来求边缘分布的方法。
不知道讲的是否明白，不明白就看书吧，一起研究今天就讲到这了，大家有啥问题讨论下。
huajh7(284696304) 21:34:52
补充几点，一是 temporal model ,如Dynamical Bayesian newtwork(DBN), plate models ，这是图模型的表达能力; 二是belief Bropagation ，包括exact 和approximation ，loopy时的收敛性; Inference包括MCMC,变分法。这是图模型在tree和graph的推理能力。三是Structure Learning ，BIC score等。这是图模型的学习能力。