【CTA系列】Kelly公式在最优f问题上的应用

本篇文章是基于研究报告的复现作品，旨在记录个人的学习过程和复现过程中的一些思路。

感谢民生证券研究员前辈的宝贵思路。

一、凯利公式

1.凯利公式源起

Kelly公式的发明者是美国着名物理学家J.L.Kelly，他在1956年的论文《A New Intepretation of Imformation Rate》最早提出来Kelly公式，并认为是在赌博中可以运用的资金管理公式，追求最大收益的同时把破产风险降到零。

后来的学者，将该思想移植到很多跟赌博类似的领域，包括期货和股票投资，因为投资者也是在追求最大收益，同时希望把破产的风险降低到零。Kelly公式还有两位坚实的支持者，E. O. Thorp和C.E. Shannon。两位鼎鼎有名的科学家，传说他们两人60年代曾经利用Kelly公式和概率论思想在赌场上赢取了大量的金钱，甚至遭到赌场的禁入。后来两人都创办了各自的对冲基金，取得了很好的业绩。

C.E. Shannon，美国华尔街量化交易对冲基金的鼻祖，1970年代首创第一个量化交易对冲基金，美国数学家、电子工程师和密码学家，被誉为信息论的创始人。E. O. Thorp，1961年出版了他的著名专著《Beat the Dealer》系统介绍在许多赌博游戏中取胜的策略，此后30多年中，Thorp发表了多篇关于Kelly准则的论文，比如1997《The Kelly criterion in blackjack, sports betting, and the stock market》，文中进一步论述了Kelly准则在21点、体育赌博和股票投资的应用。

2.凯利公式追求的是几何平均收益率

Kelly公式本质追求几何平均收益率/geometric holding period return（缩写为GHPR）最大化，比如做了两笔交易，第一笔亏50%，第二笔盈利100%。收益率算术平均是25%，而几何平均收益率是0。

再比如，如果我们每次都用1%的资金进行风险投资，潜在的结果将是2%的收益或1%的损失，那么这笔投资的算数平均收益率为0.5%，几何平均收益率为0.49%。

3.凯利公式表达式

在计算过程中，可以通过遍历所有可能的结果并评估每个GHPR值来查看是否存在一个最佳的持股比例点。这些比例点将生成一条曲线，曲线的峰值代表下注的最佳比例。Ralph Vince把这个值称为最优f。

记∗为现有资金下的最佳比例，下面的几种常见的表达形式，有一个前提，假设长期交易过程是一个贝努利试验。

 二、凯利公式在资本市场中的应用

1.寻找最优f

股票市场中，通过复利增长资本是一种十分诱人的策略，假定投资的目标只是为了获得最大的收益（不考虑回撤），那么应该在市场上投入的资本比例是多少呢。这一问题可以用最优f来求解。

这里采取的凯利公式为Thorp形式，使用沪深300指数2015年1月至2022年10月的日收益率数据，得到最优f的结果。

图 2.1最优f结果

 具体的，最优f数值为0.686，对应的算数平均的收益率为0.00934%，几何平均的收益率为0.00428%。

进一步，在求解最优f时将回撤考虑进来，研究是否随着投资仓位的扩大收益一定会随之增加。从图中可以看出，随着头寸规模趋近于最优f，收益率和最大回撤都在增加，当达到最优f时，继续增加头寸不仅不会使得收益增加，而且会进一步的增加回撤。这或许说明，通过增加规模来增加利润超过最优f是徒劳的。

图2.2 最优f与回撤情况

 继续考虑，在计算最优f的同时将最大回撤考虑进去，即希望最最大化收益的同时，将最大回撤控制在某一数值之下。此时最优f为0.171，几何平均收益率为0.00202%，最大回撤为9.365%。

图 3.3控制最大回撤下的最优f

 2.利用最优f计算仓位

采用滚动时间窗口的方式计算t日的最优f数值作为理想仓位，时间窗口为200个交易日，如t日的仓位为200个交易日之前的数据进行计算得到的最优f数值。然后对每日的收益率与理想仓位进行复利简单的求净值。可以看出，凯利公式求解最优f得到的理想仓位下的净值走势明显优于标的，说明在投资过程中控制仓位对收益率和回撤都是能够产生正向影响的。

图3.4 最优f计算的凯利仓位净值表现

 

三、思考

这里只是初步研究了凯利公式最优f的计算，未能在实际投资策略中进行应用检验其有效性，接下来将会在实际策略中应用最优f进行仓位管理。

参考资料：

Kelly公式在最优f问题上的应用.民生证券