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Mathematics for Machine Learning学习笔记—3 解析几何

这一章主要讲了内积、范数、投影和正交化。几何向量的长度和角度。

3.1 Norms

几何向量（geometric vectors）是从原点开始的有向线段，向量的长度是“端”到原点的距离

范数（Norms)

Defifinition 3.1 (Norm) .在向量空间V中范数是 $\underset{x}{\rightarrow}$ 的长度，表示为 $\left | \left | \underset{x}{\rightarrow}\right | \right |$ 。

性质：

1、 Absolutely homogeneous: $\left | \left | \lambda \underset{x}{\rightarrow} \right | \right |= \left | \lambda \right |\left | \left | \underset{x}{\rightarrow} \right | \right |$

2、Triangle inequality: $\left \| \underset{x }{\rightarrow} +\underset{y}{\rightarrow}\right \|\leqslant \left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|+\left \| \underset{y}{\rightarrow} \right \|$

3、Positive defifinite（正定性）： $\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|\geqslant 0; \left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|= 0\Leftrightarrow \underset{x}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}$

范数分为 $l_{1}$ 范数、 $l_{2}$ 范数、 $l_{p}$ 范数、 $l_{\infty }$ 范数

$l_{1}$ 范数： $\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|_{1}=\sum_{i=1}^{n}\left | x_{i} \right |$

$l_{2}$ 范数: $\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|_{2}= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= \sqrt{\underset{x}{\rightarrow}^{T}\cdot \underset{x}{\rightarrow}}$

$l_{p}$ 范数: $\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|_{p}= \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\left | x_{i} \right |^{p}}$

$l_{\infty }$ 范数: $\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|_{\infty }=\max_{i\leqslant i\leqslant n}\left | x_{i} \right |$

3.2 Inner Products

内积（Inner Products）

一个向量的长度可以用内积表示，两个向量之间的角度和向量之间的距离也可以用内积表示。内积主要的目的是为了判断向量之间是否正交。

3.2.1 Dot Products

点积（Dot Products）:点积是内积的一种。

$\underset{x}{\rightarrow}^{T}\cdot \underset{y}{\rightarrow}= \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$

3.2.2 General Inner Products

双线性映射 $\Omega$ ，向量空间V，向量 $\underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow},\underset{z}{\rightarrow}\in V$ , $\lambda ,\psi \in R$ , 满足：

$\Omega \left ( \lambda \underset{x}{\rightarrow} +\psi \underset{y}{\rightarrow},\underset{z}{\rightarrow}\right )=\lambda \Omega \left ( \underset{x}{\rightarrow},\underset{z}{\rightarrow} \right )+\psi \Omega \left ( \underset{y}{\rightarrow} ,\underset{z}{\rightarrow}\right )$

$\Omega \left (\underset{x}{\rightarrow} ,\lambda \underset{y}{\rightarrow} +\psi \underset{z}{\rightarrow}\right )=\lambda \Omega \left ( \underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow} \right )+\psi \Omega \left ( \underset{x}{\rightarrow} ,\underset{z}{\rightarrow}\right )$

Defifinition 3.2.

1.若对 $\forall$ $\underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow}\in V$ ，V是一维空间 $\Omega \left ( \underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow} \right )=\Omega \left ( \underset{y}{\rightarrow} ,\underset{x}{\rightarrow}\right )$ ，则称 $\Omega$ 是对称的（ symmetric）

2.若对 $\forall \underset{x}{\rightarrow}\in V and \underset{x}{\rightarrow}\neq \underset{0}{\rightarrow}$ , $\Omega \left ( \underset{x}{\rightarrow},\underset{x}{\rightarrow} \right )> 0$ , $\Omega \left ( \underset{0}{\rightarrow} ,\underset{0}{\rightarrow}\right )=0$ , 则称 $\Omega$ 是正定的（positive defifinite）

Defifinition 3.3.

1.一个对称正定的双线性映射 $\Omega$ ，被叫做向量空间V上的内积，将内积 $\Omega\left ( \underset{x}{\rightarrow} ,\underset{y}{\rightarrow}\right )$ 写作 $\left \langle \underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow} \right \rangle$

2. $\left ( V,\left \langle \cdot ,\cdot \right \rangle \right )$ 叫做内积空间或者叫（实）带有内积的向量空间。如果是点积，则叫做欧几里得向量空间。

在这本书里，作者将所有空间认作内积空间，将所有出现的内积作为点积来计算。

Example3.3（内积不是点积）作者在这部分证明了内积不是点积，举例在二维空间下，内积不是点积。

3.2.3 Symmetric, Positive Defifinite Matrices

对称正定矩阵（Symmetric, Positive Defifinite Matrices）由内积定义得到的，在机器学习中有重要的作用。

一个具有内积的n维向量空间V，向量空间V中的一组有序的基向量 $B=\left ( \underset{b_{1}}{\rightarrow} ,\cdots ,\underset{b_{n}}{\rightarrow}\right )$ ，向量空间中的向量 $\underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow}\in V$ 可以由基向量线性表示， $\underset{x}{\rightarrow}=\sum_{i=1}^{n}\psi _{i}\underset{b_{i}}{\rightarrow}$ ， $\underset{y}{\rightarrow}=\sum_{j=1}^{n}\lambda _{j}\underset{b_{j}}{\rightarrow}$ ，根据内积的双线性，对all $\underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow}\in V$ 都有：

$\left \langle \underset{x}{\rightarrow} ,\underset{y}{\rightarrow}\right \rangle=\left \langle \sum_{i=1}^{n} \psi _{i}\underset{b_{i}}{\rightarrow},\sum_{j=1}^{n}\lambda _{j}\underset{b_{j}}{\rightarrow}\right \rangle=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi _{i}\left \langle \underset{b_{i}}{\rightarrow},\underset{b_{j}}{\rightarrow} \right \rangle\lambda _{j}=\hat{\underset{x}{\rightarrow}}^{T}A\hat{\underset{y}{\rightarrow}}$

内积<·,·>由A唯一确定，内积是对称的，意味着A也是对称的。

Defifinition 3.4 当 $\forall \underset{x}{\rightarrow}\in V and\underset{x}{\rightarrow}\neq \underset{0}{\rightarrow}$ ， $\underset{x}{\rightarrow}^{T}A\underset{x}{\rightarrow} > 0$ ，A被称为对称正定矩阵或者正定矩阵；若 $\underset{x}{\rightarrow}^{T}A\underset{x}{\rightarrow} \geqslant 0$ ，则A被称为对称半正定矩阵。

3.3 Lengths and Distances

将内积当作点积的时候，内积可以诱导出二范数。

Definition 3.6 （距离和矩阵） $\underset{x}{\rightarrow} and\underset{y}{\rightarrow}$ 的距离 $d\left ( \underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow} \right ):=\left \| \underset{x}{\rightarrow} -\underset{y}{\rightarrow}\right \|=\sqrt{\left \langle \underset{x}{\rightarrow} -\underset{y}{\rightarrow},\underset{x}{\rightarrow} -\underset{y}{\rightarrow}\right \rangle}$

3.4 Angles and Orthogonality

Orthogonality（正交性）

orthogonal（正交的）

orthonormal（正交规范）

两个向量 $\underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow}$ 之间的角度w： $cos\omega =\frac{\left \langle \underset{x}{\rightarrow} ,\underset{y}{\rightarrow}\right \rangle}{\left \| \underset{x}{\rightarrow}\right \|_{2}\left \| \underset{y}{\rightarrow} \right \|_{2}}=\frac{\left \langle \underset{x}{\rightarrow} ,\underset{y}{\rightarrow}\right \rangle}{\sqrt{\left \langle \underset{x}{\rightarrow} ,\underset{x}{\rightarrow}\right \rangle\left \langle \underset{y}{\rightarrow} ,\underset{y}{\rightarrow}\right \rangle}}=\frac{\underset{x}{\rightarrow}^{T}\underset{y}{\rightarrow}}{\sqrt{\underset{x}{\rightarrow}^{T}\underset{x}{\rightarrow}\underset{y}{\rightarrow}^{T}\underset{y}{\rightarrow}}}$

Definition3.7(正交性)当且仅当 $\left \langle \underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow} \right \rangle$ =0，两向量正交。若向量 $\underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow}$ 正交，且 $\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|=\left \| \underset{y}{\rightarrow} \right \|=1$ ，则 $\underset{x}{\rightarrow},\underset{y}{\rightarrow}$ 是正交规范的（orthonoemal）。

若两个向量正交，则两向量垂直（当内积当作点积时）, 若内积不是点积，则两向量不垂直。Example3.7证明了这一点。

Definition 3.8(正交矩阵)正交矩阵的两种定义：

1. $A^{T}=A^{-1}$

2.方阵 $A_{n\times n}=\left [ \underset{\alpha _{1}}{\rightarrow} ,\cdots ,\underset{\alpha_{n }}{\rightarrow}\right ],\underset{\alpha _{i}}{\rightarrow}^{T}\underset{\alpha _{j}}{\rightarrow}=\left\{\begin{matrix} 0, i\neq j\\ 1,i=j \end{matrix}\right.$

矩阵是对象，一张数表存信息；矩阵是一种对向量操作的算子，有旋转和伸缩两种操作，A $\underset{x}{\rightarrow}$ ，表示A作用在 $\underset{x}{\rightarrow}$ 上，对 $\underset{x}{\rightarrow}$ 进行伸缩和旋转，但是当矩阵A固定时，对不同的向量的作用效果不一定相同。但是当A是正交矩阵时，矩阵A具有保长性和保角性。

保长性： $\left \| A\underset{x}{\rightarrow} \right \|_{2}=\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|_{2}$

$\left \| A\underset{x}{\rightarrow} \right \|^{2}_{2}=\left ( A\underset{x}{\rightarrow} \right )^{T}\left ( A\underset{x}{\rightarrow} \right )=\underset{x}{\rightarrow}^{T}A^{T}A\underset{x}{\rightarrow}=\underset{x}{\rightarrow}^{T}I\underset{x}{\rightarrow}=\underset{x}{\rightarrow}^{T}\underset{x}{\rightarrow}=\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|_{2}^{2}$ ，正交矩阵A对所有向量的伸缩比例都是1；

保角性：

$\small cos\omega =\frac{\left ( A\underset{x}{\rightarrow} \right )^T\left ( A\underset{y}{\rightarrow} \right )}{\left \| A\underset{x}{\rightarrow} \right \|\left \| A\underset{y}{\rightarrow} \right \|}= \frac{\underset{x}{\rightarrow}^{T}\underset{y}{\rightarrow}}{\sqrt{\left ( A\underset{x}{\rightarrow} \right )^{T}\left ( A\underset{x}{\rightarrow} \right )\left ( A\underset{y}{\rightarrow} \right )^{T}\left ( A\underset{y}{\rightarrow} \right )}}=\frac{\underset{x}{\rightarrow}^{T}\underset{y}{\rightarrow}}{\left \| \underset{x}{\rightarrow} \right \|\left \| \underset{y}{\rightarrow} \right \|}$

3.5 Orthonormal Basis

Orthonormal Basis(正交基)

Definition3.9（正交基）基向量的正交性： $\small \left \langle \underset{b_{i}}{\rightarrow},\underset{b_{j}}{\rightarrow} \right \rangle=\left\{\begin{matrix} 0,i\neq j\\ 1,i=j \end{matrix}\right.$

3.6 Orthogonal Complement

Orthogonal Complement(正交补)：两个子空间正交，三维空间中，过原点的平面和过原点的直线垂直。

3.7 Inner Product of Functions

函数的内积 $\small \left \langle u,v \right \rangle=\int_{a}^{b}u\left ( x \right )v\left ( x \right )dx$

3.8 Orthogonal Projections

3.9 Rotations

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入门学习java编程已经半年了,一路敲代码下来,现在也才1w+行代码量,也就菜鸟水准吧,但是在整个学习过程中,我一直在想,为什么很多培训老师,网上的文章都是要我们背一些代码?比如学习Arraylist的时候,教师就让我们先参考源代码写一遍,然
jvm指令集程序员是怎么炼成的 jvm 指令集
转自：http://blog.csdn.net/hudashi/article/details/7062675#comments 将值推送至栈顶时 const ldc push load指令 const系列该系列命令主要负责把简单的数值类型送到栈顶。(从常量池或者局部变量push到栈顶时均使用) 0x02 &nbs
Oracle字符集的查看查询和Oracle字符集的设置修改 aijuans oracle
本文主要讨论以下几个部分：如何查看查询oracle字符集、修改设置字符集以及常见的oracle utf8字符集和oracle exp 字符集问题。一、什么是Oracle字符集 Oracle字符集是一个字节数据的解释的符号集合,有大小之分,有相互的包容关系。ORACLE 支持国家语言的体系结构允许你使用本地化语言来存储，处理，检索数据。它使数据库工具，错误消息，排序次序，日期，时间，货
png在Ie6下透明度处理方法 antonyup_2006 css 浏览器 Firebug IE
由于之前到深圳现场支撑上线，当时为了解决个控件下载，我机器上的IE8老报个错，不得以把ie8卸载掉，换个Ie6,问题解决了，今天出差回来，用ie6登入另一个正在开发的系统，遇到了Png图片的问题，当然升级到ie8(ie8自带的开发人员工具调试前端页面JS之类的还是比较方便的，和FireBug一样，呵呵)，这个问题就解决了，但稍微做了下这个问题的处理。我们知道PNG是图像文件存储格式，查询资
表查询常用命令高级查询方法(二) 百合不是茶 oracle 分页查询分组查询联合查询
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uploadify3.1版本参数使用详解 bijian1013 JavaScript uploadify3.1
使用：绑定的界面元素<input id='gallery'type='file'/>$("#gallery").uploadify({设置参数，参数如下}); 设置的属性： id: jQuery(this).attr('id'),//绑定的input的ID langFile: 'http://ww
精通Oracle10编程SQL(17)使用ORACLE系统包 bijian1013 oracle 数据库 plsql
/* *使用ORACLE系统包 */ --1.DBMS_OUTPUT --ENABLE:用于激活过程PUT,PUT_LINE,NEW_LINE,GET_LINE和GET_LINES的调用 --语法：DBMS_OUTPUT.enable(buffer_size in integer default 20000); --DISABLE:用于禁止对过程PUT,PUT_LINE,NEW
【JVM一】JVM垃圾回收日志 bit1129 垃圾回收
将JVM垃圾回收的日志记录下来，对于分析垃圾回收的运行状态，进而调整内存分配(年轻代，老年代，永久代的内存分配)等是很有意义的。JVM与垃圾回收日志相关的参数包括： -XX:+PrintGC -XX:+PrintGCDetails -XX:+PrintGCTimeStamps -XX:+PrintGCDateStamps -Xloggc -XX:+PrintGC 通
Toast使用白糖_ toast
Android中的Toast是一种简易的消息提示框，toast提示框不能被用户点击，toast会根据用户设置的显示时间后自动消失。创建Toast 两个方法创建Toast makeText(Context context, int resId, int duration) 参数：context是toast显示在
angular.identity boyitech AngularJS AngularJS API
angular.identiy 描述: 返回它第一参数的函数. 此函数多用于函数是编程. 使用方法: angular.identity(value); 参数详解: Param Type Details value * to be returned. 返回值: 传入的value 实例代码: <!DOCTYPE HTML>
java-两整数相除，求循环节 bylijinnan java
import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class CircleDigitsInDivision { /** * 题目：求循环节，若整除则返回NULL，否则返回char*指向循环节。先写思路。函数原型：char*get_circle_digits(unsigned k,unsigned j)
Java 日期周年 Chen.H java C++c C#
/** * java日期操作(月末、周末等的日期操作) * * @author * */ public class DateUtil { /** */ /** * 取得某天相加(减)後的那一天 * * @param date * @param num *
[高考与专业]欢迎广大高中毕业生加入自动控制与计算机应用专业 comsci 计算机
不知道现在的高校还设置这个宽口径专业没有,自动控制与计算机应用专业,我就是这个专业毕业的,这个专业的课程非常多,既要学习自动控制方面的课程,也要学习计算机专业的课程,对数学也要求比较高.....如果有这个专业,欢迎大家报考...毕业出来之后,就业的途径非常广..... 以后
分层查询（Hierarchical Queries） daizj oracle 递归查询层次查询
Hierarchical Queries If a table contains hierarchical data, then you can select rows in a hierarchical order using the hierarchical query clause: hierarchical_query_clause::= start with condi
数据迁移 daysinsun 数据迁移
最近公司在重构一个医疗系统，原来的系统是两个.Net系统，现需要重构到java中。数据库分别为SQL Server和Mysql，现需要将数据库统一为Hana数据库，发现了几个问题，但最后通过努力都解决了。 1、原本通过Hana的数据迁移工具把数据是可以迁移过去的，在MySQl里面的字段为TEXT类型的到Hana里面就存储不了了，最后不得不更改为clob。 2、在数据插入的时候有些字段特别长
C语言学习二进制的表示示例 dcj3sjt126com c basic
进制的表示示例 # include <stdio.h> int main(void) { int i = 0x32C; printf("i = %d\n", i); /* printf的用法 %d表示以十进制输出 %x或%X表示以十六进制的输出 %o表示以八进制输出 */ return 0; }
NsTimer 和 UITableViewCell 之间的控制 dcj3sjt126com ios
情况是这样的: 一个UITableView, 每个Cell的内容是我自定义的 viewA viewA上面有很多的动画, 我需要添加NSTimer来做动画, 由于TableView的复用机制, 我添加的动画会不断开启, 没有停止, 动画会执行越来越多. 解决办法: 在配置cell的时候开始动画, 然后在cell结束显示的时候停止动画查找cell结束显示的代理
MySql中case when then 的使用 fanxiaolong casewhenthenend
select "主键", "项目编号", "项目名称","项目创建时间", "项目状态","部门名称","创建人" union (select pp.id as "主键", pp.project_number as &
Ehcache（01）——简介、基本操作 234390216 cache ehcache 简介 CacheManager crud
Ehcache简介目录 1 CacheManager 1.1 构造方法构建 1.2 静态方法构建 2 Cache 2.1&
最容易懂的javascript闭包学习入门 jackyrong JavaScript
http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/learning_javascript_closures.html 闭包（closure）是Javascript语言的一个难点，也是它的特色，很多高级应用都要依靠闭包实现。下面就是我的学习笔记，对于Javascript初学者应该是很有用的。一、变量的作用域要理解闭包，首先必须理解Javascript特殊
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网站开发完成后,我们在进行网站优化最关键的问题就是如何提高整体的转化率，这也是营销策略里最最重要的方面之一，并且也是网站综合运营实例的结果。文中分享了四大优化策略：调查、研究、优化、评估，这四大策略可以很好地帮助用户设计出高效的优化方案。 PHP开发的网站优化一个网站最关键和棘手的是，如何提高整体的转化率，这是任何营销策略里最重要的方面之一，而提升网站转化率是网站综合运营实力的结果。今天，我就分
web开发里什么是HTML5的WebSocket？ naruto1990 Web html5 浏览器 socket
当前火起来的HTML5语言里面，很多学者们都还没有完全了解这语言的效果情况，我最喜欢的Web开发技术就是正迅速变得流行的 WebSocket API。WebSocket 提供了一个受欢迎的技术，以替代我们过去几年一直在用的Ajax技术。这个新的API提供了一个方法，从客户端使用简单的语法有效地推动消息到服务器。让我们看一看6个HTML5教程介绍里的 WebSocket API：它可用于客户端、服
Socket初步编程——简单实现群聊 Everyday都不同 socket 网络编程初步认识
初次接触到socket网络编程，也参考了网络上众前辈的文章。尝试自己也写了一下，记录下过程吧：服务端：（接收客户端消息并把它们打印出来） public class SocketServer { private List<Socket> socketList = new ArrayList<Socket>(); public s
面试：Hashtable与HashMap的区别（结合线程） toknowme
昨天去了某钱公司面试，面试过程中被问道 Hashtable与HashMap的区别？当时就是回答了一点，Hashtable是线程安全的，HashMap是线程不安全的，说白了，就是Hashtable是的同步的，HashMap不是同步的，需要额外的处理一下。今天就动手写了一个例子，直接看代码吧 package com.learn.lesson001; import java
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