⚡️【数据结构】二叉树的概念和相关知识总结

目录

1.树概念及结构

1.1树的概念

1.2 树的相关概念

1.3 树的表示

 1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

2.2满二叉树

2.3完全二叉树

2.4满二叉树和完全二叉树的区别

2.5二叉树的性质

2.6二叉树的存储结构

3.二叉树顺序结构

3.1二叉树的顺序结构

3.2堆的概念及结构

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1️⃣树概念及结构

❄️1.1树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵 倒挂的树 ，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

注：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

❄️1.2 树的相关概念

 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图： B 是 A 的孩子节点

兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度 ：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点

节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙 ：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林 ：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

❄️1.3 树的表示

树结构相对线性表就 比较复杂 了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。 接下来我将用孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
}

 ❄️1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

如linux的目录，window的目录等等，基本都是用树状图来表示的。

2️⃣二叉树概念及结构

2.1概念

二叉树的每个节点：或者为空或者由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

 注意：

• 二叉树不存在度大于2的节点
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2满二叉树

如果一个二叉树的每个节点的度都为2，即每个节点都有两个分支，那么此二叉树就为满二叉树。其层数如果为k，那么其总节点个数为2^k-1；

 

2.3完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

2.4满二叉树和完全二叉树的区别

其实满二叉树是完全二叉树的特例，因为满二叉树已经满了，而完全并不代表满。满指的是出了叶子节点外每个节点都有两个孩子，而完全的含义则是最后一层没有满，并没有满。

• 满二叉树肯定是完全二叉树
• 完全二叉树不一定是满二叉树

2.5二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第i层上最多有 个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点总数是   .

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 . 

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

•  若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
•  若2i+1，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
• 若2i+2，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.6二叉树的存储结构

二叉树的存储结构有两种，分别为顺序存储和链式存储。

⭐️1.顺序存储

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。 二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。数组的正常顺序和二叉树按从上到下，从左到右的顺序对应。

⭐️2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域， 左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址， 链式结构又分为二叉链和三叉链。

 

3️⃣二叉树顺序结构

3.1二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。 而完全二叉树更适合使用顺序结构存储 。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2堆的概念及结构

严格来讲，堆有不同的种类，但是我们在算法学习中，主要用的还是二叉堆，而二叉堆有最大堆和最小堆之分。

最大（最小）堆是一棵每一个节点的键值都不小于（大于）其孩子（如果存在）的键值的树。大顶堆是一棵完全二叉树，同时也是一棵最大树。小顶堆是一棵完全完全二叉树，同时也是一棵最小树。

需要注意的问题是：堆中的任一子树也还是堆，即大顶堆的子树也都是大顶堆，小顶堆同样。

 堆的性质：

• 堆中某个节点总是不大于或者不小于其父节点
• 堆是完全二叉树