凸优化1：什么是凸优化问题
文章目录
- 一些闲话
- 凸优化问题
-
- 数学优化
- 最小二乘问题
- 线性规划
- 凸优化
- 非线性优化
一些闲话
去年就想看一下优化和泛函变分相关的内容，但没有空余的排期，大部分学习时间花在了强化学习方面。
今年，正好近期项目也有需要，凸优化提上了自学日程。
参考书目：
《凸优化》清华大学出版社，Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe著，王书宁，许鋆，黄晓霖 译
全书700页，计划用半年的时间完成一刷。
凸优化问题
数学优化
数学模型
m i n i n i z e f 0 ( x ) s u b j e c t t o f i ( x ) ≤ b i , i = 1 , 2 , ⋯ , m \begin{aligned} mininize \ &f_0(x) \\ subject \ to \ &f_i(x)\leq b_i, \ i=1,2,\cdots,m \end{aligned} mininize subject to f0(x)fi(x)≤bi, i=1,2,⋯,m
- x x x 优化变量
- f 0 ( x ) f_0(x) f0(x) 目标函数
- f i ( x ) f_i(x) fi(x) 约束函数
线性优化：目标函数和约束函数均为线性函数；
凸优化：目标函数和约束函数均为凸函数；
凸性是较线性更为一般的性质，线性函数是凸函数的一个特例，因此线性规划问题也是凸优化问题。
应用
- 资源分配、成本控制
- 数据拟合
- 最优决策 等
求解
- 以给定精度求解优化问题中的一个实例；
- 即便目标函数和约束函数是光滑的，一般形式的优化问题仍然难以求解；
- 一些特殊的优化问题，存在一些有效地算法
- 最小二乘问题
- 线性规划
- 凸优化
最小二乘问题
m i n i n i z e f 0 ( x ) = ∥ A x − b ∥ 2 2 \begin{aligned} mininize \ &f_0(x)=\lVert Ax-b\rVert _2^2 \end{aligned} mininize f0(x)=∥Ax−b∥22
等效于求解：
A T A x = A T b A^TAx=A^Tb ATAx=ATb
存在解析解：
x = ( A T A ) − 1 A T b x=(A^TA)^{-1}A^Tb x=(ATA)−1ATb
即 b b b左乘 A A A的广义逆。
可以认为，最小二乘问题的求解是一项（成熟的）技术。
线性规划
目标函数和约束函数均为线性函数
m i n i n i z e f 0 ( x ) = c T x s u b j e c t t o f i ( x ) = a i T x ≤ b i , i = 1 , 2 , ⋯ , m \begin{aligned} mininize \ &f_0(x)=c^Tx \\ subject \ to \ &f_i(x)=a_i^Tx\leq b_i, \ i=1,2,\cdots,m \end{aligned} mininize subject to f0(x)=cTxfi(x)=aiTx≤bi, i=1,2,⋯,m
不存在解析解，但存在很多有效地求解方法：
- 单纯形法
- 内点发
可以说，求解（大部分）线性规划问题，也是一项（成熟的）技术。
凸优化
目标函数和约束函数，都是凸函数。
有效的求解方法：内点法。
虽然有点夸张，如果某个实际问题可以表述为凸优化问题，那么事实上已经解决了这个问题
非线性优化
目标函数或者约束函数，是非线性，且不一定为凸函数。
局部优化
- 可能不能找到全局最优解
- 对初始值敏感
- 局部优化方法是一种技巧而不是技术
全局优化
- 付出的代价是计算效率，只能寄希望遇到特殊问题
- 适用于：
- 变量个数少的小规模问题；
- 对计算时间没有苛刻要求；
- 全局最优足够有价值
- 例子：最坏情况分析，寻找最坏情况的参数值；
- 无法保证系统是可靠的，只是没找到更坏情况的参数取值。
应用
- 局部优化中利用凸优化进行初始值的选取；
- 非凸优化中的凸启发算法