数学建模——规划模型

一：线性规划问题

1. 定义：在一组线性规划约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小值的问题。
2. 线性规划标准式：

   目标函数：f(x)=

   约束条件：{Ax<=b

   Aeq*x=beq

   lb<=x<=ub}

   c和x为n维列向量，A，Aeq为系数矩阵，b，beq为维数的列向量。

3. matlab调用linprog函数可求解线性规划问题

   c=[2;3;-5];
   a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12];
   aeq=[1,1,1];
   beq=7;
   x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
   [x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
   

其中x为该线性规划问题的解，y为目标函数的值。

linprog中，若无aeq和beq，则该位置以[ ]代替。

线性规划常见问题：运输问题、工作指派问题、灵敏度分析

二：非线性规划

定义：目标函数或约束条件中包含非线性函数。

非线性规划标准式与线性规划标准式类似。

matlab中的命令：X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

它的返回值是向量 x ，其中 FUN 是用 M 文件定义的函数 f (x)；X0 是 x 的初始值； A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束 A* X ≤ B, Aeq * X = Beq ，如果没有线性约束，则 A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和 UB 是变量 x 的下界和上界，如果上界和下界没有约 束，则 LB=[]，UB=[]，如果 x 无下界，则 LB 的各分量都为-inf，如果 x 无上界，则 UB 的各分量都为 inf；NONLCON 是用 M 文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x) ；OPTIONS 定义了优化参数，可以使用 Matlab 缺省的参数设置。

matlab求解非线性规划一般步骤：

1. 创建目标函数文件，编写目标函数代码。
2. 创建约束条件文件，编写约束条件代码（不等式条件存放到同一变量中，等式条件存放到同一变量中）
3. 编写主程序文件，调用fmincon函数。

三：整数规划

定义：规划中的变量（部分或全部）限制为整数。

整数规划特点：

1. 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后：（1）原线性规划最优解全是整数，则整数规划与线性规划最优解一致。（2）整数规划无可行解。（3）有可行解，但最优解变差。
2. 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

整数规划求解方法：

分支定界法：设最大化整数规划问题为A，相对应的线性规划问题为B，从解问题B开始，若最优解不符合A的整数条件，则B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界，分支定界则是将B的可行域分成子区域，逐步减小上界和增大下界，最终求得A的目标函数值z*。