概率统计Python计算：单个正态总体均值双侧假设的T检验

正态总体的方差${\sigma }^2$未知的情况下，对总体均值$\mu ={\mu }_0$进行显著水平$\alpha$下的双侧假设检验，检验统计量$\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$~$t(n-1)$。其中$\overline{X}$和$S$分别为样本均值和样本标准差。用p值法的计算函数定义如下。

from scipy.stats import t			#导入t
def ttest2(T, df, alpha):			#双侧T检验函数
    p=2*t.sf(abs(T), df)
    return p>=alpha

ttest2的参数与ttestL、ttestR（详见博文《单个正态总体均值单侧假设的T检验》）的同名参数意义相同，此不赘述。用p值法计算假设的双侧检验，需要考虑检验统计量T位于其分布均值的左、右方来确定p值的计算。但对t分布而言，其密度函数关于纵轴对称，所以当$T<0$时残存函数在$|T|$处的函数值$S(|T|)$与累积分布函数在$T$处的函数值$F(T)$是相等的。所以，ttest2函数中的p值赋予2*t.sf(abs(T), df)（第3行）。返回值p>=alpha为True表示接受假设$H_0$，否则拒绝$H_0$。
例1 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
$$3.25,3.27,3.24,3.26,3.24$$
设测定值总体服从正态分布，参数均未知。问在$\alpha =0.01$下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25%。
解： 按题意，需检验双侧假设
$$H_0:\mu =3.25,H_1:\mu \ne 3.25.$$
下列代码完成本例计算。

import numpy as np                          #导入numpy
x=np.array([3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24])  #样本数据
xmean=x.mean()                              #样本均值
s=x.std(ddof=1)                             #样本均方差
n=x.size                                    #样本容量
mu0=3.25                                    #总体均值假设值
alpha=0.01                                  #显著水平
T=(xmean-mu0)/(s/sqrt(n))					#检验统计量值
accept=ttest2(T, n-1, alpha)       			#检验假设
print('mu=%.2f is %s.'%(mu0, accept))

第2~7行按题面设置各项数据，第8行计算检验统计量值$\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$为T，第9行调用函数ttest2计算假设$H_0$的双侧检验。运行程序，输出

mu=3.25 is True.

表示接受假设$H_0:\mu =3.25$，即矿砂的含镍量均值为3.25%。
例2 《美国公共健康》杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究，文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%）。在某大学医院进行一项研究判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取为40.5%，样本标准差为7.5%。设样本来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\mu$和${\sigma }^2$均未知。试取显著水平$\alpha =0.05$，检验假设
$$H_0:\mu =38.4\%,H_1:\mu \ne 38.4\%.$$
解： 下列代码完成本例计算。

xmean=40.5						#样本均值
s=7.5							#样本标准差
n=15							#样本容量
mu0=38.4						#总体均值假设
alpha=0.05						#显著水平
T=(xmean-mu0)/(s/np.sqrt(n))	#检验统计量值
accept=ttest2(T, n-1, alpha)	#检验假设
print('mu=%.1f is %s.'%(mu0, accept))

运行程序，输出

mu=38.4 is True.

表示接受假设$H_0:\mu =38.4\%$。
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