matlab中方差分析的自由度,多因素方差分析：自由度

来源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_60a751620101gkja.html

在脑科学中，通常采用重复测量的方式来开展研究。也就是设计不同的任务，让同一个被试都做一遍，来找出差异。这样做不仅是为了节约经费(想想如果4个条件，每个条件找20人，就得给出80人的被试费！)，另一方面也是尽量将个体差异进行控制，因为不管是EEG/ERP、还是fMRI，都是噪声富聚的信号，而且个体差异也是非常大的。

图1 要点在于被试间和被试内进行分解

当然，重复测量也有其弊端，如滞留效应，潜隐效应和学习效应，这里不展开来说。重复测量方差分析可以说是我们最常用到的工具。比如：要研究不同情绪图片，在回忆和再认任务中在各个电极上theta波的差异。那就是一个情绪(高兴、悲伤和中性)×任务(回忆、再认)×电极(4个电极)实验，即3因素方差分析。如果把被试分为两组，分别完成回忆和再认任务，这就更复杂了，成了混合设计的3因素方差分析。比较可悲的是，翻阅很多教科书，都重点讲单因素方差分析，或者是完全随机设计的方差分析。对我们常用的重复测量多因素方差分析，保持了集体的沉默。看了许多研究报告，发现同学们在写F(x,y)=???, P=???，通常把自由度x,y写错。这里我总结一下常用的实验设计如何确定自由度，希望对大家实践有帮助。

(注意本讲义不包括因素无交互作用的情况，亦不包括自由度要矫正的情况！)

分解要诀：方差分析多因素

先看设计定思路

重复与否是关键

项目数定总自由度

先把被试来数数

定出被试间自由度

混合设计要小心

组间因素分解出

被试内有自由度

总减被试间可得出

定下被试内因素

误差自然不会误

核心思想：把总自由度分解为被试间(between subject)自由度和被试内(within subject)自由度

1.重复测量单因素方差分析被试数:n 组内因素：a

总自由度：an-1

被试间自由度:n-1

被试内自由度：n(a-1)

*因素：a-1

*因素×被试间：(n-1)(a-1)

生成的结果：

F(a-1,(n-1)(a-1))

2.重复测量2因素方差分析被试数:n 组内因素：a,b

总自由度：abn-1

被试间自由度：n-1

被试内自由度：n(ab-1)

*因素a：a-1

*因素b：b-1

*交互：(a-1)(b-1)

*因素a×被试间：(n-1)(a-1)

*因素b×被试间：(n-1)(a-1)

*因素a×因素b×被试间：(n-1)(a-1)

生成的结果：

F(a-1,(n-1)(a-1))

F(b-1,(n-1)(b-1))

F((a-1)(b-1),(n-1)(a-1)(b-1))

3.混合设计(既有组间，又有组内的)2因素方差分析被试数:n 组间因素：a 组内因素：b

总：abn-1

被试间:an-1

*组间因素:a-1

*被试:a(n-1)

被试内：an(b-1)

*组内因素：b-1

*组内×组间：(a-1)(b-1)

*误差：a(b-1)(n-1)

生成的结果：

F(a-1,a(n-1))

F(b-1,a(b-1)(n-1))

4.重复测量3因素方差分析，这在脑科学研究中非常常用！

被试数:n 组内因素：a,b,c

总：abcn-1

被试间：n-1

被试内：n(abc-1)

*因素a：a-1

*因素b：b-1

*因素c：c-1

*交互ab：(a-1)(b-1)

*交互bc：(b-1)(c-1)

*交互ac：(a-1)(c-1)

*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)

*因素a×被试间：(a-1)(n-1)

*因素ab×被试间：(a-1)(b-1)(n-1)

*因素abc×被试间：(a-1)(b-1)(c-1)(n-1)

生成的结果：

F(a-1,(a-1)(n-1))

F(b-1,(b-1)(n-1))

F((a-1)(b-1),(a-1)(b-1)(n-1))

F((a-1)(b-1)(c-1),(a-1)(b-1)(c-1)(n-1))

5.混合设计(既有组间，又有组内的)3因素方差分析如果a因素处理的学习效应很强，无法采用方案4，通常采用方案5来避免学习效应，因此，本方案在脑科学研究中也很常用！

被试数:n 组间因素：a 组内因素：b,c

总：abcn-1

被试间：an-1

*组间因素a: a-1

*被试：a(n-1)

被试内自由度：an(bc-1)

*组内因素b：b-1

*组内因素c：c-1

*交互ab：(a-1)(b-1)

*交互bc：(b-1)(c-1)

*交互ac：(a-1)(c-1)

*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)

*误差：a(bc-1)(n-1)

生成的结果：

F(a-1,a(n-1))

F(b-1,a(bc-1)(n-1))

6.注意和完全随机设计的区别

举例如下：

被试数:abn 组间因素：a,b

如果把abn个被试随机分到a,b两个因素下,就构成了完全随机设计的2因素方差分析。

分解顺序和重复测量也不同，没有被试间和被试内这一步，变成了直接进行处理间和处理内分解。

总自由度：abn-1

处理间:ab-1

*因素a：a-1

*因素b：b-1

*交互ab：(a-1)(b-1)

*处理内：ab(n-1)

生成的结果：

F(a-1,ab(n-1))

F(b-1,ab(n-1))

7.如果把abcn个被试随机分到a,b,c三个因素下,就构成了完全随机设计的3因素方差分析。

直接进行处理间和处理内分解。

总：abcn-1

处理间:abc-1

*因素a：a-1

*因素b：b-1

*因素c：c-1

*交互ab：(a-1)(b-1)

*交互bc：(b-1)(c-1)

*交互ac：(a-1)(c-1)

*交互abc：(a-1)(b-1)(c-1)

*处理内：abc(n-1)

生成的结果：

F(a-1,abc(n-1))

F(b-1,abc(n-1))

给出了以上自由度，我们来证明一个观点：“同样的实验因素和每个处理下的被试量，完全随机比混合设计自由度高，混合设计比重复测量自由度高”。取3因素方差分析为例：

完全随机：a和b

F(a-1,abc(n-1))

F(b-1,abc(n-1))

混合设计：组间a和组内b

F(a-1,a(n-1))

F(b-1,a(bc-1)(n-1))

重复测量：a和b

F(a-1,(a-1)(n-1))

F(b-1,(b-1)(n-1))

可以看到，对于a因素：abc(n-1)>a(n-1)>(a-1)(n-1)；

对于b因素：abc(n-1)>a(bc-1)(n-1)>(b-1)(n-1)；

所以上面的观点是成立的。还可以看到，对于混合设计：a(n-1)<=a(bc-1)(n-1)，也就是在a=b时，组内条件比组间条件自由度大。

下面是做anova的matlab命令，注意matlab软件自带的命令只提供完全随机设计方差分析，要做重复测量方差分析需要到mathworks官网下载

1. 完全随机设计单因素方差分析

anova1

2. 完全随机设计两因素方差分析

anova2

3. 完全随机设计多因素方差分析

anovan

4. 重复测量单因素方差分析

5. 重复测量两因素方差分析

6. 重复测量三因素方差分析

点击命令可直接下载

下面是实验数据统计分析的常规路线图