04笔记 离散数学——关系——基于离散数学(第3版)_章炯民,陶增乐
关系的概念
X,Y是集合，R是X×Y的子集，则称R是X到Y的二元关系，若X=Y，称R为X上的关系，(x,y)∈R，称x，y满足关系R，记为xRy，x是y的前件，y是x的后键
定义
设R是X到Y的二元关系，R的定义域记为dom（R），R的值域记为ran( R )
d o m ( R ) = { x ∣ x ∈ X ， 且 存 在 y ∈ Y 使 ( x , y ) ∈ R } dom(R) = \{x|x∈X，且存在y∈Y使(x,y)∈R\} dom(R)={x∣x∈X，且存在y∈Y使(x,y)∈R}
r a n ( R ) = { y ∣ y ∈ Y ， 且 存 在 x ∈ X 使 ( x , y ) ∈ R } ran(R) = \{y|y∈Y，且存在x∈X使(x,y)∈R\} ran(R)={y∣y∈Y，且存在x∈X使(x,y)∈R}
空关系：空集
全关系：X×Y
恒等关系：{(x,x)|x∈X}
函数
X到Y的函数f使X到Y的二元关系
1）dom(f) = X
2) ∀ x ∈ X ， y 1 ， y 2 ∈ Y , ( x , y 1 ) ∈ f ∧ ( x , y 2 ) ∈ f → y 1 = y 2 \forall x∈X，y_1，y_2∈Y,(x,y_1)∈f\land(x,y_2)∈f \rightarrow y_1=y_2 ∀x∈X，y1，y2∈Y,(x,y1)∈f∧(x,y2)∈f→y1=y2
二元关系表示
1)表示集合的方法
2）关系图
用X，Y与那表示图中的顶点，一般X左Y右，当(x,y)∈R，则用有向边从x画到y，x=y的时候要画个圈
3） 关系矩阵
m×n矩阵，属于取1，不属于取0
n元关系
X1……Xn是n个集合
X1×……×Xn的子集R 是n元关系
关系的运算
逆关系
R − 1 = { ( y , x ) ∣ ( x , y ) ∈ R } ⊆ Y × X R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)∈R\}\ \subseteq Y×X R−1={(y,x)∣(x,y)∈R} ⊆Y×X
补关系
x
补关系是x≥y
复合关系
R = { ( x , z ) ∣ x ∈ X ， z ∈ Z 且 存 在 y 属 于 Y ， ( x , y ) ∈ R , ( y , z ) ∈ S } R=\{(x,z)|x∈X，z∈Z且存在y属于Y，(x,y)∈R,(y,z)∈S\} R={(x,z)∣x∈X，z∈Z且存在y属于Y，(x,y)∈R,(y,z)∈S}
复合关系不满足交换律
并不是任何两个关系都可以复合
幂
设R是X上的关系，n∈N
R的n次幂R^n
R n = { I X n = 0 R n − 1 R 其 他 R^n=\left\{ \begin{aligned} I_X& &n=0 \\ R^{n-1} R & &其他\\ \end{aligned} \right. Rn={IXRn−1Rn=0其他
限制
设R是X上的关系，Y是X的子集，则Y上的关系{(x,y)|x、y∈Y，且(x,y)∈R} 称R在Y上的限制
关系运算性质
( R − 1 ) − 1 = R (R^{-1})^{-1}=R (R−1)−1=R
( R ∪ S ) − 1 = R − 1 ∪ S − 1 ( R ∩ S ) − 1 = R − 1 ∩ S − 1 (R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}\quad (R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1} (R∪S)−1=R−1∪S−1(R∩S)−1=R−1∩S−1
( R ∘ S ) − 1 = S − 1 ∘ R − 1 (R\circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1} (R∘S)−1=S−1∘R−1
( R ∘ S ) ∘ T = R ∘ ( S ∘ T ) (R\circ S)\circ T = R\circ (S\circ T) (R∘S)∘T=R∘(S∘T)
定理
设R是X上的关系，则对任意正整数n和任意x,y∈X，(x,y)∈R^k
等价于存在 n+1元组(x0……xn)∈X^{n+1}
其中x0 = x,xn = y.对于任意i，(x_i,x_{i+1})∈R
推论1
R是X的关系，m、n∈N
R m R n = R m + n R^mR^n = R^{m+n} RmRn=Rm+n
推论2
设R是有限集X上的关系，|X|=n,n∈N，对任意x,y∈X，m∈N，若(x,y)∈Rm，存在k∈N，k≤n，使得(x,y)∈Rk
推论3
|X|=n
⋃ m = 1 ∞ R m = ⋃ m = 1 n R m \bigcup^∞_{m=1}R^m=\bigcup^n_{m=1}R^m m=1⋃∞Rm=m=1⋃nRm
关系特殊性质 闭包
特殊性质
1）x∈X，总有(x,x)∈R，R是X上的自反关系
2）x∈X，总有(x,x)不属于R，R是X上的反自反关系
3）x、y∈X，只要(x,y)∈R，就有(y,x)∈R，R是X上的对称关系
4）x、y∈X，只要(x,y)∈R且(y,x)∈R就有x=y，R是X上的反对称关系
5）3）x、y、z∈X，只要(x,y)∈R且(y,z)∈R，就有(x,z)∈R，R是X上的传递关系
符号表示
1）自反
I x ⊆ R I_x \sube R Ix⊆R
2)反自反
R ∩ I X = ∅ R\cap I_X = \empty R∩IX=∅
3)对称关系
R − 1 = R R^{-1}=R R−1=R
4)反对称
R ∩ R = 1 ⊆ I X R\cap R^{=1}\sube I_X R∩R=1⊆IX
5)传递关系等价于
R 2 ⊆ R R^2\sube R R2⊆R
推导于（不等价，下不能推传递
R n ⊆ R R^n\sube R Rn⊆R
关系矩阵中表示
1）自反，对角线为1
2）反自反 对角线为0
3）矩阵对称
4) 矩阵对称位置至少一个0
关系图表示
1）自反 顶点有环
2）反自反 顶点无环
3）对称 顶点间有边且必有两条相反边
4) 反对称 关系图至多一条边
闭包
定义
R是X关系，P是关系性质，包含R的、具有性质P、X上最小关系称为R的P闭包
R的P闭包是X上的一个关系RP,满足
1） R ⊆ R P R\sube R^P R⊆RP
2) R P 具 有 性 质 P R^P具有性质P RP具有性质P
3）对任意X上的关系R‘，若R’有性质P
若 R ⊆ R ′ , 则 R P ⊆ R ′ 若R\sube R',则R^P\sube R' 若R⊆R′,则RP⊆R′
比如R是X的关系，X上包含R最小的传递关系就是R的传递闭包 如果X上关系T有以下性质
1） R ⊆ T R\sube T R⊆T
2)T是传递的
3）任何X上包含R的传递关系包含T
则T是R的传递闭包
定理
r自反闭包，s对称闭包，t传递闭包
1） r ( R ) = r ∪ I X r(R)=r\cup I_X r(R)=r∪IX
2) s ( R ) = R ∪ R − 1 s(R)=R\cup R^{-1} s(R)=R∪R−1
3) t ( R ) = ⋃ n = 1 ∞ R n t(R) = \bigcup^∞_{n=1}R^n t(R)=n=1⋃∞Rn
等价关系和划分
等价关系
定义：
同时满足自反、对称、传递关系的关系
若R是X上的等价关系，xRy，则称xRy关于R等价
1）恒等关系 全关系都是等价关系
2）R的≤关系不是等价关系
3）xRy定义为：x和y姓氏相同，R是等价关系
4）xSy，x和y具有相同的父亲或母亲，S不是等价关系
等价类
定义：
x关于R的等价类 [ x ] R : { y ∣ y ∈ X ， 且 y R x } ⊆ X R : X 上 的 等 价 关 系 ， x ∈ X [x]_R:\{y|y∈X，且yRx\}\sube X\\ R:X上的等价关系，x∈X [x]R:{y∣y∈X，且yRx}⊆XR:X上的等价关系，x∈X
等价类【x】_R的代表元 x
模m的同余关系R_m和同余类
1)
R m = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ Z ， x ≡ y ( m o d m ) } , m ∈ N R_m=\{(x,y)|x,y∈Z，x≡y(mod\ m)\},m∈N Rm={(x,y)∣x,y∈Z，x≡y(mod m)},m∈N
R_m是Z上的等价关系
2）对于Z模3的同余关系R_3
0，1，2所在的等价类
[ 0 ] R 3 = { 3 n ∣ n ∈ Z } [ 1 ] R 3 = { 3 n + 1 ∣ n ∈ Z } [ 2 ] R 3 = { 3 n + 2 ∣ n ∈ Z } [0]_{R3} = \{3n|n∈Z\}\\ [1]_{R3} = \{3n + 1|n∈Z\}\\ [2]_{R3} = \{3n + 2|n∈Z\}\\ [0]R3={3n∣n∈Z}[1]R3={3n+1∣n∈Z}[2]R3={3n+2∣n∈Z}
定理
R是等价关系
1） x R y ⇒ [ x ] R = = [ y ] R xRy \Rightarrow [x]_R == [y]_R xRy⇒[x]R==[y]R
2) ¬ x R y ⇒ [ x ] R ∪ [ y ] R = ∅ \lnot xRy \Rightarrow [x]_R\cup [y]_R = \empty ¬xRy⇒[x]R∪[y]R=∅
3) ⋃ x ∈ X [ z ] R = X \bigcup_{x∈X}[z]_R = X x∈X⋃[z]R=X
性质
1)等价类任意元素都可以作为等价类的代表元素
2）任意两个等价类，相等或无公共元素
3）等价类是所有那些互相等价的元素组成
商集
X关于R的商集X/R：X关于R的所有等价类组成的集合
X/R = {[x]_R| x ∈ R}
R: X上的等价关系
比如
Z / R 3 = { [ 0 ] R 3 , [ 1 ] R 3 , [ 2 ] R 3 } Z/R3 = \{[0]_{R3},[1]_{R3},[2]_{R3}\} Z/R3={[0]R3,[1]R3,[2]R3}
划分
x的划分pi
π ⊆ P ( X ) ∀ A ∈ π , A ≠ ∅ ∀ A , B ∈ π , （ A = B ∨ A ∩ B = ∅ ） ∪ π = X \pi \sube P(X) \\ \forall A ∈ \pi,A≠\empty \\ \forall A,B∈\pi ,（A = B\lor A\cap B = \empty ）\\ \cup \pi = X π⊆P(X)∀A∈π,A=∅∀A,B∈π,（A=B∨A∩B=∅）∪π=X
定理
R是X的等价关系
X/R是X的划分
pi是X的划分，定义R关系如下
R = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ π 的 同 一 个 划 分 块 } R=\{(x,y)|x,y∈\pi的同一个划分块\} R={(x,y)∣x,y∈π的同一个划分块}
R是X上的等价关系
偏序关系
X是集合，X上自反、反对称、传递的关系是X上的偏序关系，简称偏序，也称为部分序关系
若≤是X的偏序，对于X任意两个元素x,y,x≤y或y≤x总有一个成立，称≤是X上的全序关系
若≤是X的偏序，X和偏序≤合称为偏序集，记为二元组（X，≤）若≤是集合X上的全序，称（X，≤）是全序集
x,y∈X，若有x≤y或y≤x称x和y关于偏序≤是可比较的
哈斯图
定义
偏序集合（X，≤） x,y∈X
y覆盖x x < y ∧ ¬ ∃ z ∈ X 使 得 x < z < y x
y是x的直接后继
哈斯图
节点x和y之间箭头相连当且仅当y覆盖x且y位于x上方，默认每个点都有环故不画环
性质 最大（小）元最多一个或没有
(X,≤)偏序集，a∈X
1）任意x∈X，有x≤a，称a是（X，≤）的最大元
2）a≤x，称a是（X，≤）的最小元
3）不存在x属于X让a
极大（小）元可以有多个或没有
极大（小）元不一定是最大（小）元
最大元一定是极大元
当最大（小）元存在，极大（小）元只有一个
全序集极大（小）元一定是最大（小）元