非固定边界网格参数化（ARAP）

非固定边界的网格参数化方法。

   记录自己的实现过程，一方面可能对其他人有用，另一方面自己保存。

1、首先实现固定边界的网格参数化方法，参考如下论文

M. Floater. Parameterization and smooth approximation ofsurface triangulations. CAGD, 1997.

2、非固定边界的网格参数化方法，先看如下论文：  

 Ligang Liu, Lei Zhang, Yin Xu, Craig Gotsman, StevenJ. Gortler. A local/global approach to mesh parameterization. Computer GraphicsForum (Proceedings of the Symposium on Geometry Processing (SGP '08)),1495-1504.

 从论文中可以得出对参数化后坐标U的求解实际上就是最小化如下能量函数，包含Lt和U两个未知参量：

     

• 求解Lt ：首先将原三维网格中的三角形（1，2，3.... t）进行全等变换到平面上，每个三角形单独变，不需要考虑彼此之间的坐标，得到Xt（Xt0，Xt1，Xt2）是三角形每个点全等变换后的坐标。这里Xti（i=0，1，2）都是2*1的矩阵，代表三角形在二维平面的坐标。然后取第一步中固定边界参数化的方法得到的二维平面结果Ut (Ut0 , Ut1, Ut2)为启动的坐标，此时对每个三角形t我们分别有Xt 和 Ut这两种坐标，从Xt到Ut对应着一个jacobi变换矩阵Jt，对每个三角形都是不同的，所以对每个三角形进行单独求解。求解方法如下：
  

       

         对应的每个符号的意义论文中相应位置都由解释。

         将St(u)进行SVD分解

             

        再计算对应的Lt

              

• 求解U：  
  

       将能量函数用半边数据结构进行描述得到

       

    然后将上式对U求导得到：

   

   然后按此式构建相应的稀疏矩阵方程组即可。

• 加入加权系数：

      此时能量函数的表达为：

      

其中

        

 然后按论文中附录的方法进行求解at，bt，然后用a b构成的矩阵将Lt换掉即可。

结果图：

                     

注意：若没有得到相应的结果，将C2表达式中的‘+’换成‘-’，C3中的‘-’换成‘+’，因为感觉论文中不应取（a,b;-b,a）

作为变换矩阵，而是取（-a,b；b,a）。

此外

关于initialparameterization 取值对结果没有影响的思考：

   不同的参数化得只是到的jacobi矩阵Jt不同，将Jt进行SVD分解后，只取了U和V来得到Lt，而控制矩阵“膨胀”比的奇异值被舍去或者进行取平均，相当于消去了不同参数化方法中不同的部分只保留了相同的部分，所以最终的结果基本相同。