泰勒展开简单直观理解与常用公式

由于最近需要用到泰勒展开，所以这里整理一份泰勒展开常用的公式。

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1 泰勒展开简单直观理解

泰勒展开的核心思想是：用无穷多个多项式在某个点来逼近某个比较复杂的函数。这是一个近似或者说逼近的一个过程，直观的感受如下：

详细的讲解的链接我会放在最下方，有需要的可以自提。

同样还有一个大家经常用到或者经常听到的东西的思想和泰勒展开很像，那就是神经网络。神经网络也是用无数多个神经元（函数）去逼近任意一个函数。

当然泰勒展开这个思想应该还有很多其他的应用，只是我才学疏漏，所以暂时只知道这些内容。

2 常用的泰勒展开公式

2.1 定义

定义：若函数$f(x)$在包含$x_0$的某个开区间$(a,b)$上具有$(n+1)$阶导数，那么对于任一$x\in (a,b)$，有：

$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中，$R_n(x)$为余项，关于余项的具体内容链接放在最后。

2.2 常用的公式（$x\to 0$）

常用的在$x\to 0$的时候的泰勒展开公式如下：

$$\begin{array}{rl}& e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\\ & ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}\\ & sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ & cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ & tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...\\ & arcsin(x)=x+\frac{1}{2}\times \frac{x^3}{3}+\frac{1\times 3}{2\times 4}\times \frac{x^5}{5}+\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}\times \frac{x^7}{7}+...\\ & arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...\\ & \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,|x|<1\\ & \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...+(-1{)}^n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n,|x|<1\\ & (1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}{x}^2+...\end{array}$$

3 参考

[1]3Blue1Brown.【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qW411N7FU?p=11,2018-06-03.
[2]陈二喜.怎样更好地理解并记忆泰勒展开式？[EB/OL].https://www.zhihu.com/question/25627482,2019-10-20.
[3]蔷祀.求大神把泰勒公式中常用函数的展开式写给我谢谢了，要详细的[EB/OL].https://zhidao.baidu.com/question/1176805673614305379.html,2019-10-22.