量子随机游走系列(一)

量子随机游走

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J Kempe (2003) Quantum random walks: An introductory overview, Contemporary Physics, 44:4, 307-327, DOI: 10.1080/00107151031000110776

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Abstract

   文章致力于提供一份量子随机游走研究的介绍型综述。全文从物理效应出发解释了我们在量子随机游走当中会介绍的主要观点，回顾了它们的特性，并与传统随机游走的特性进行差异比较。随后从物理效应以及计算机科学应用领域，介绍一些量子随机游走的概念和主要术语。最后，提及部分在这一新领域当中的进展，并给出一些开放性问题。

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1. Overview

    自量子理论发现开始，人们就对自然法制违背直觉的特性感到困惑。随着时间推移，我们学会接受越来越多在牛顿理论世界中无法想象的效应。现代技术利用量子效应对我们有利有弊，人们应当在看到激光技术的同时又不忽略原子弹。
   最近，对量子信息理论的兴趣日益高涨，人们期待利用量子法则设计拥有惊人能量的设备。新观点包括量子密码学^[2][3]和量子计算^[4]。1994年Shor[4]发现了一种有效分解数字的量子算法(这一时期，多项式仅随要分解的数的长度而增长)。这在物理，计算机科学，数学和工程学等广泛学科领域掀起了一股热潮。
   这个研究方向已经发现了许多新的效果，无论是从物理角度还是从计算机科学和通信理论的角度来看，它们都与经典的效果截然不同。随着时间的流逝，这些社群对其他群体的概念和表示有了更深入的了解。信息无法与承载它的物理设备分离的想法（信息即物理）已经牢牢地扎根于其中，并引发了令人着迷的新见解。熟悉这些领域的基本概念似乎有助于理解现代量子信息处理。
   在本文中，我们将遵循量子信息众多令人惊讶的方面之一的轨迹：它致力于量子随机游走。我们将全面介绍必要的术语，而不会给读者增加不必要的数学负担。从一个非常直观和实际的例子开始，我们将逐步介绍当今量子信息科学的语言和符号。我们将介绍物理学家理解和欣赏研究进展和结果所需要的计算机科学的必要背景，假设量子力学具有一些基本的背景知识，但不具备计算机科学或量子信息论的知识。有关量子信息和计算的出色综合介绍，请参见[1]。
   在此过程中，我们将沿着几门传统学科的接口进行物理学和计算机科学领域的量子随机游走。这次量子信息科学之旅将使我们能够研究当今一些最相关的概念和思想，例如量子算法，量子计算机，加速，物理实现，量子电路和退相干。我们的任务是展示物理现象如何转化为新的计算机科学算法，或者是对应的逆过程。假定读者熟悉量子力学标准习语但不习惯“量子位”和“门”语言，我们将教授量子信息科学，同时介绍量子随机游走及其引人入胜的行为。我们将调查一些最新的进展和结果，并省略大多数证据，而是尝试建立直观感受。 本文旨在将感兴趣的读者带到一个点，使其可以阅读和理解有关该主题的最新研究文章，并对该领域的有趣问题和开放性问题有所了解。
   文章结构如下：首先，我们对随机行走给出一些物理直觉，从而在物理环境中大致了解该现象(第2节)。接下来是更严格的定义以及一些必要的术语，以介绍第3节中的两种主要的量子随机游走模型。然后，我们介绍了一些计算机科学和概率背景，并在第4节中提到了一些来自量子随机游走的重要算法结果。第5节转回到物理学，研究如何在某些实际物理系统中实现这些随机游走。最后，我们处理一个更哲学的问题，即经典世界如何通过以随机游走为例的退相干从量子行为中脱颖而出(第6节)。在整个过程中，我们将概述未解决的问题和未来的方向。

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2. A gentle introduction

   为描述量子随机游走并对其中发生的事情有一个直观描述，我们从一个示例出发。这个例子(可能被认为是之后模型的先驱)是从1993年这项工作中[5]提取出来的。在他们的工作中，“量子随机行走”第一次被创造出来。
   想象线上的一个粒子，它的位置由位于位置$x_o$的波束$|{\Psi }_{x_o}⟩$决定，$i.e.$函数$⟨x|{\Psi }_{x_o}⟩$对应于处在$x_o$处的波束。令P为动量算子，粒子平移步长$l$由一元运算符$U_l=exp(-iPl/h)$表示，因此$U_l|{\psi }_{x_o}⟩=|{\psi }_{x_o-l}⟩$。现在假设粒子有自旋$1/2$自由度，以$S_z$表示自旋的$z$组件，以$|\uparrow ⟩$和$|\downarrow ⟩$表示$S_z$的特征态，进而，$S_z|\uparrow ⟩=(h/2)|\uparrow ⟩$，$S_z|\downarrow ⟩=-(h/2)|\downarrow ⟩$。当前，设置$h=1$来简化表达。
   一个自旋$1/2$的粒子经常以$2$位向量表示：$|\psi ⟩=(|{\psi }^{\uparrow }⟩,|{\psi }^{\downarrow }⟩{)}^T$，第一部分是自旋空间$|\uparrow ⟩$上粒子的波函数组件，第二部分是$|\downarrow ⟩$上粒子的波函数组件。正则化需要满足：$|{\Vert {\psi }^{\uparrow }⟩\Vert }^2+{\Vert {\psi }^{\downarrow }⟩\Vert }^2|=1$。为强调粒子空间的张量结构，我们将以一种略有不同的方式表示它：$|\psi ⟩={\alpha }^{\uparrow }|\uparrow ⟩⨂|{\psi }^{\uparrow }⟩+{\alpha }^{\downarrow }|\downarrow ⟩⨂|{\psi }^{\downarrow }⟩$，此处将两个波函数正则化为$⟨{\psi }^{\uparrow }|{\psi }^{\uparrow }⟩=⟨{\psi }^{\downarrow }|{\psi }^{\downarrow }⟩=1$，进而$|{\alpha }^{\uparrow }{|}^2+|{\alpha }^{\downarrow }{|}^2=1$。张量积${}^{\prime }{⨂}^{\prime }$将将两个自由度（自旋和空间）分开，这将使我们能够更清晰地查看这两个自由度之间的相关性。现在，对应于更大$1/2$自旋粒子状态空间的平移$l$的时间发展能借助算子描述：$U=exp(-2i{S}_z⨂Pl)$。算子依据自旋粒子的内部自旋自由度来产生条件平移。特别地，若粒子的自旋初始化为状态$|\uparrow ⟩$，对应的波函数为$|\uparrow ⟩⨂|{\psi }_{x_o}^{\uparrow }⟩$，对$|\uparrow ⟩⨂|{\psi }_{x_o-1}^{\uparrow }⟩$应用$U$平移，如此粒子会向右偏移$l$。如果粒子自旋态是$|\downarrow ⟩$，$i.e.$整个波函数用$|\downarrow ⟩⨂|{\psi }_{x_o}^{\downarrow }⟩$给定，接着平移算子会将其转换为$|\downarrow ⟩⨂|{\psi }_{x_o+1}^{\downarrow }⟩$，粒子会向左偏移。更有趣的行为会出现在以下的情况中，当粒子初始自旋状态，定位于$x_o$，不是$S_z$的特征态，而是位于一个叠加态：
$$|{\psi }_{in}⟩=({\alpha }^{\uparrow }|\uparrow ⟩+{\alpha }^{\downarrow }|\downarrow ⟩)⨂|{\psi }_{x_o}⟩$$
应用平移算子$U$产生位置的叠加态
$$U|{\psi }_{in}⟩={\alpha }^{\uparrow }|\uparrow ⟩⨂|{\psi }_{x_o-l}⟩+{\alpha }^{\downarrow }|\downarrow ⟩⨂|{\psi }_{x_o+l}⟩$$
若在该点上我们决定在$S_z$基础上测量旋转态，粒子要么位于$x_o-l$以$p^{\uparrow }=|{\alpha }^{\uparrow }{|}^2$概率处在状态$$

• [1] Nielsen, M. A., and Chuang, I. L., 2000, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge: Cambridge University Press).

• [2] Hughes, R. J., Alde, D. M., Dyer, P., Luther, G. G., Morgan, G. L., and Schauer, M., 1995, Contemp. Phys., 36, 149.

• [3] Gisin, N., Ribordy, G. G., Tittel, W., and Zbinden, H., 2002, Rev. Mod. Phys., 74, 145.

• [4] Shor, P. W., 1994, in Proceedings of the 35th Annual Symposium on the Foundations of Computer Science, edited by S. Goldwasser (Los Alamitos, CA: IEEE Computer Society), pp. 124 – 134 (final version in [52]).